Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 08

[Uygar ÖZTÜRK]

$N$ pozitif bir tam sayı olmak üzere, $a_1, a_2, \cdots, a_k$ pozitif tam sayıları $N=a_1 +a_2 +\cdots +a_k$ ve her $1\leq i\leq k$ için $\displaystyle{a_i=a_{k+1-i}}$ koşullarını sağlıyorsa, $(a_1 ,a_2 ,\cdots ,a_k)$ sıralı $k$-lisine $N$'nin bir $\textit{simetrik dağılımı}$ diyelim. Örneğin, $(5), (2,1,2)$ ve $(1,1,1,1,1)$ sıralılarının her biri $5$'in bir simetrik dağılımıdır. Buna göre $28$ sayısının kaç farklı simetrik dağılımı vardır?

$\textbf{a)}\ 12842 \qquad\textbf{b)}\ 13174 \qquad\textbf{c)}\ 14312 \qquad\textbf{d)}\ 15968 \qquad\textbf{e)}\ 16384$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Tüm terimler pozitif olduğundan dolayı $k$, $28$'den büyük olamaz. Şimdi incelemeye geçelim.

i) $k=2m$ ise $14\geq m\geq 1$ olur. Ayrıca $a_i=a_{2m+1-i}$ olduğundan $$a_1+a_2+\dots+a_m+a_{m+1}+\dots+a_{2m}=2(a_1+a_2+\dots+a_m)=28$$ $$\Rightarrow a_1+a_2+\dots+a_m=14$$ bulunur. Tüm terimler en az $1$ olacağından, dağılım formülünden $\left( \begin{array}{c} (14-m)+m-1 \\ m-1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 13 \\ m-1 \end{array} \right)$ farklı dağılım bulunur. $m$, $1$ ile $14$ arasındaki herhangi bir tamsayı olduğundan toplam durum $$\sum_{m=1}^{14} \left( \begin{array}{c} 13 \\ m-1 \end{array} \right)=2^{13}$$ bulunur.

ii) $k=2m-1$ ise benzer şekilde $14\geq m\geq 1$ olur. $$a_1+a_2+\dots+a_{m-1}+a_m+a_{m+1}+\dots+a_{2m}=2(a_1+a_2+\dots+a_{m-1})+a_m=28$$ bulunur. $a_m$ çift olmalıdır. $a_m=2n$ için $$a_1+a_2+\dots+a_{m-1}+n=14$$ bulunur. İlk şıktakinin aynısı bir durum olduğundan burada da toplam durum $2^{13}$'dür.

Her iki durumda da $2^{13}$ dağılım olduğundan toplamda $2^{13}+2^{13}=2^{14}=16384$ simetrik dağılım vardır.