Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 07

[Uygar ÖZTÜRK]

$a > 0$ ve $b \neq c$ koşullarını sağlayan $a,b,c,d$ gerçel sayıları için $P_{1}(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ ve $P_{2}(x)=ax^3+cx^2+bx+d$ polinomları tanımlanıyor. $P_{1}(x+1)-P_{1}(x)$ ve $P_{2}(x+1)-P_{2}(x)$ polinomlarının alabilecekleri en küçük değerler eşitse, $\displaystyle{\frac{b+c}{a}}$ aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

$\textbf{a)}\ -3 \qquad\textbf{b)}\ -1    \qquad \textbf{c)}\ 1    \qquad \textbf{d)}\ 3   \qquad\textbf{e)}\ \text{Hicbiri}$

[Uygar ÖZTÜRK]

Yanıt: $\boxed{A}$

$P_{1}(x+1)-P_{1}(x)=x^2(3a)+x(3a+2b)+a+b+c$ ve $P_{2}(x+1)-P_{2}(x)=x^2(3a)+x(3a+2c)+a+b+c$ olur. Burada farklılık yaratan $x$'in katsayısıdır ve bu katsayılar mutlak değerce birbirlerine eşit olursa ifadenin minimum değeri değişmez çünkü oluşacak farklılık parabollere koordinat sisteminde sadece yatay hareket yaptırır (grafik ile de gösterilebilir). $|3a+2b|=|3a+2c|$ olur ve sorudaki koşuldan dolayı $6a=-2b-2c$ elde edilir ve istenen oran $-3$ bulunur.