Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 06

[Uygar ÖZTÜRK]

$\displaystyle{\sqrt{n+11}+\sqrt{n+\sqrt{n+11}}}$ ifadesinin bir tam sayı olmasını sağlayan $n$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 71 \qquad\textbf{b)}\ 92    \qquad \textbf{c)}\ 113    \qquad \textbf{d)}\ 134   \qquad\textbf{e)}\ 155$ 

[Uygar ÖZTÜRK]

Yanıt: $\boxed{C}$

$a$ ve $b$ tam kare olmayan doğal sayılar olmak üzere, $\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ bir tam sayı olamaz. İfadenin karesi alınarak bu görülebilir.

$\displaystyle{\sqrt{n+11}}=x$ olsun. O halde $\displaystyle{x^2+x-11}$ tam kare olmalıdır. $\displaystyle{\frac{(2x+1)^2-45}{4}}$ tam karedir. Payda tam kare olduğundan $\displaystyle{(2x+1)^2-45=y^2}$ tam karedir: $\displaystyle{(2x+1-y)(2x+1+y) = 45}$ olur. Eşitliği sağlayan değerleri bulmak kolaydır. Bunlar $n$ yerine konulup test edilirse $n: -2,5,110$ değerlerini alabilir. Yani cevap $113$ olur.