Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 02

[Uygar ÖZTÜRK]

$\displaystyle{2^{p-3}+3^{p-3}+4^{p-3}}$ toplamının $p$ ile tam bölünmesini sağlayan $p$ tek asal sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 48 \qquad\textbf{b)}\ 56  \qquad\textbf{c)}\ 64 \qquad\textbf{d)}\ 72 \qquad\textbf{e)}\ 80$

[Uygar ÖZTÜRK]

Yanıt: $\boxed{C}$

İfadeyi $\displaystyle{\frac{2^{p-1}}{2^2}+\frac{3^{p-1}}{3^2}+\frac{4^{p-1}}{4^2}}$ biçiminde yazalım. $p>3$ ise Fermat Teoreminden dolayı $\displaystyle{3^2\cdot 4^2+2^2\cdot 4^2 +2^2\cdot 3^2}$ ifadesinin $p$ ile tam bölündüğünü söyleyebiliriz ki bu sayı $61$'dir. Ancak $3$ de bir tek asal sayı olduğundan onu da ayrıca denememiz gerekir (ki ifadenin $p$ ile tam bölünmesini sağlar). O yüzden cevap $61+3=64$ olur.