Gönderen Konu: Çarpımları Tamsayı Olan Rasyonel Sayılar  (Okunma sayısı 310 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 342
  • Karma: +7/-0
Çarpımları Tamsayı Olan Rasyonel Sayılar
« : Ağustos 13, 2020, 09:51:22 ös »
$a$, $b$ ve $c$  pozitif tamsayılar olmak üzere, $$\left ( 1+\dfrac{1}{a} \right ) \left ( 1+\dfrac{1}{b}\right ) \left (1+\dfrac{1}{c} \right )$$ ifadesinin tamsayı olmasını sağlayan tüm $(a,b,c)$ üçlülerini bulunuz.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3056
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Çarpımları Tamsayı Olan Rasyonel Sayılar
« Yanıtla #1 : Ekim 14, 2020, 02:33:32 ös »
$A=\dfrac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}$ yazalım.
$$A(a,b,c)=A=\dfrac{abc+ab+ac+bc+ac+a+b+c+1}{abc}=1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{abc}$$
olduğundan $A>1$ dir. $A$ bir tam sayı olduğundan $A\geq 2$ yazabiliriz. Ayrıca $A \leq A(1,1,1) =8$ dir. $2\leq A \leq 8$ bulunur. Simetriden dolayı genelliği bozmadan $1\leq a \leq b \leq c$ kabul edebiliriz. Buna göre $1+\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{a^2}+\dfrac{1}{a^3} \geq A \geq 2$ olup $(a+1)^3 \geq 2a^3$ elde edilir. Bu eşitsizlik $a\in \{ 1,2,3\}$ için sağlanır.

$A \in \{ 2,3,4,5,6,7, 8\}$ değerlerini vererek ve her bir durum için $a\in \{ 1,2,3\}$ kullanılarak $b,c$ değerleri hesaplanabilir. Bazı çözümler $(1,1,1), (1,1,2), (1,2,3), (2,2,3)$ ve permütasyonlarıdır.

Bu problemin daha kısa biçimine karşılık gelen $a<b<c$ versiyonu 33. IMO'da sorulmuştu. Sayıların farklı olduğu verilseydi $A\leq A(1,2,3)=4$ olup $A \in \{ 2,3,4 \}$ daha az durum incelemesi ile çözüm yapabiliyoruz. Ayrıca $A=2$ durumu olan $\left ( 1+\dfrac{1}{a} \right ) \left ( 1+\dfrac{1}{b}\right ) \left (1+\dfrac{1}{c} \right )=2$ biçimi de İngiltere matematik olimpiyatında sorulmuş. Bunun da tüm çözümleri $(7,6,2), (9,5,2), (15,4,2), (8,3,3), (5,4,3)$ ve permütasyonlarıdır. Durum incelemelerini hesaplayıp yazmak fazlaca vakit aldığı için belirtmek istedim.


Sorunun $A \in \{ 2,3,4,5,6,7, 8\}$ değerlerinin incelenmesi dışında bir çözüm göremedim :) Farklı çözüm yolu varsa alabilirim.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 342
  • Karma: +7/-0
Ynt: Çarpımları Tamsayı Olan Rasyonel Sayılar
« Yanıtla #2 : Ekim 19, 2020, 01:14:05 ös »
Aslında soruyu gönderirken çözüm olarak aklımda sizin de dediğiniz gibi $a<b<c$ dersek $A$'nın alabileceği değerlerin bayağı azalacağı vardı. Kalan $A$ değerlerini de deneyecektim  :D

Eğer $a$, $b$, $c$'den en az ikisi birbirine eşitse, genelliği bozmadan $a=c$ olsun. $$\dfrac{(a+1)^2}{a^2}\dfrac{b+1}{b}=t\in \mathbb{Z}$$ olur. Eğer $a=1$ ise $$\dfrac{4(b+1)}{b}=4+\dfrac{4}{b}\in \mathbb{Z}$$ olur. Buradan $b=1,2,4$ değerleri bulunur. Yani $(a,b,c)=(1,1,1),(1,2,1),(1,4,1)$ çözümleri vardır. Permütasyonları da çözümdür. $a=2$ ise $\dfrac{9b+9}{4b}\in \mathbb{Z}$ olur. $9b+9$ çift olduğundan $b$ tek olmalıdır. Ayrıca $\dfrac{9b+9}{4b}=2+\dfrac{b+9}{4b}$ olduğundan $b+9\geq 4b$ ve buradan $3\geq b$ bulunur. Denenirse, $b=3$ değerinin sağladığı görülebilir Buradan da $(a,b,c)=(2,3,2)$ çözümü bulunur.

$a\geq 3$ ise $EBOB(a+1,a)=1$ ve $EBOB(b+1,b)=1$ olacağından $$\dfrac{(a+1)^2}{a}\dfrac{b+1}{b}=t\in \mathbb{Z}\Rightarrow \dfrac{(a+1)^2}{b}\in \mathbb{Z} \text{    ve    } \dfrac{b+1}{a^2}\in \mathbb{Z}$$ olmalıdır. $b+1=a^2k$ dersek, $k=1$ için $\dfrac{(a+1)^2}{a^2-1}=\dfrac{a+1}{a-1}=1+\dfrac{2}{a-1}\in \mathbb{Z}$ bulunur, $a\geq 3$ olduğundan tek çözüm $a=3$'dür. Buradan da $(a,b,c)=(3,8,3)$ çözümü bulunur. $k\geq 2$ için $\dfrac{(a+1)^2}{ka^2-1}\in \mathbb{Z}$ olmalıdır. Buradan $$(a+1)^2\geq ka^2-1\geq 2a^2-1\Rightarrow 0\geq a^2-2a-2=(a-1)^2-3\geq (3-1)^2-3\geq 1>0$$ bulunur. Bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $a,b,c$'den en az ikisinin eşit olduğu durumlardaki tüm çözümler $(a,b,c)=(1,1,1),(1,2,1),(1,4,1),(2,3,2),(3,8,3)$ ve permütasyonlarıdır.

Şimdi geriye kalan tek durum $a,b,c$'nin birbirinden farklı olduğu durumlardır. Genelliği bozmadan $a<b<c$ diyebiliriz. Lokman hocamın da gösterdiği gibi $a\in \{1,2,3\}$ olabilir ve ana ifade $\{2,3,4\}$ olabilir. Ana ifade azalan olduğundan ve $A\leq A(1,2,3)=4$ olduğundan ($A(a,b,c)$ gösterimi Lokman hocamın gösterimi ile aynı olduğundan tekrar tanımlamadım.) $A=4$ için tek çözüm $(a,b,c)=(1,2,3)$ olacaktır. Bu değerlerden farklı $a,b,c$ değerleri için $A<4$ olacağını görmek zor değildir. Geriye $2$ durum kalır: $A=2$ ve $A=3$

$i)$ $A=2$ ise

$ia)$ $a=1$ için $\dfrac{b+1}{b}\dfrac{c+1}{c}=1$ olur fakat $\dfrac{b+1}{b}>1$ ve $\dfrac{c+1}{c}>1$ olduğundan çözüm yoktur.

$ib)$ $a=2$ ise $\dfrac{b+1}{b}\dfrac{c+1}{c}=\dfrac{4}{3}$ olur. $\dfrac{b+1}{b}>\dfrac{c+1}{c}$ olduğundan $\left (\dfrac{b+1}{b} \right )^2>\dfrac{4}{3}$ olur. Buradan, $b\leq 6$ bulunur. Bu değerler denenirse $(a,b,c)=(2,6,7),(2,5,9),(2,4,15)$ çözümleri bulunur.

$ic)$ $a=3$ ise $\dfrac{b+1}{b}\dfrac{c+1}{c}=\dfrac{3}{2}$ olur. Aynı şekilde $\dfrac{b+1}{b}>\dfrac{c+1}{c}$ dersek $\left (\dfrac{b+1}{b} \right )^2>\dfrac{3}{2}$ olur ve buradan $b\leq 4$ bulunur. $b>a$ olduğundan $b=4$ olmalıdır. yerine yazılırsa $(a,b,c)=(3,4,5)$ çözümü bulunur.

$ii)$ $A=3$ ise

$iia)$ $a=1$ ise $\dfrac{b+1}{b}\dfrac{c+1}{c}=\dfrac{3}{2}$ olur. Burada $b\geq 4$ bulunacağı bir önceki durumda göstermiştik. Buradan $(a,b,c)=(1,4,5),(1,3,8)$ çözümleri bulunur.

$iib)$ $a=2$ ise $\dfrac{b+1}{b}\dfrac{c+1}{c}=2$ olur. $2<b<c$ olduğundan $\dfrac{b+1}{b}\dfrac{c+1}{c}>\dfrac{3}{2}\dfrac{4}{3}=2$ olur ve çözüm gelmez.

$iic)$ $a=3$ ise $\dfrac{b+1}{b}\dfrac{c+1}{c}=\dfrac{9}{4}$ olur. $b<c$ olduğundan $\left (\dfrac{b+1}{b} \right )^2>\dfrac{9}{4}$ olur ve buradan $b<2$ gelir. $b>a$ olduğundan bu bir çelişkidir. Çözüm gelmez.

Dolayısıyla tüm çözümler, $(a,b,c)=(1,1,1),(1,2,1),(1,4,1),(2,3,2),(3,8,3),(1,2,3),(2,6,7),(2,5,9),(2,4,15),(3,4,5),(1,4,5),(1,3,8)$ ve permütasyonlarıdır.
« Son Düzenleme: Ekim 19, 2020, 02:54:00 ös Gönderen: metonster »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal