2020 İngiltere 1. Tur Sorusu - Çember {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Soru: $S_1$ ve $S_2$ çemberleri birbirine $P$ noktasında teğettir. Çemberlerin  $P$ den geçmeyen ortak bir teğeti, $S_1$ e $A$ da ve $S_2$ ye $B$ de teğettir. $C$ ve $D$ noktaları sırasıyla $S_1$ ve $S_2$ üzerinde olup $ABP$ üçgeninin dışındadır. Ayrıca $P$ noktası da $CD$ üzerindedir. $AC$ ile $BD$ nin dik olduğunu ispatlayınız.



Kaynak: 29 Kasım 2019 tarihli İngiltere Mat. Olimpiyatı 1. Tur sorusudur. Sınavın 2. turu 2020 yılı içinde yapıldığından, bunlar bütün olarak 2020 yılı sınavları olarak değerlendirilmektedir.

[Erdal1122]

Çözüm: $m(\widehat{ACP})=\alpha $, $m(\widehat{BDP})=\beta $ diyelim. Teğet açıdan $m(\widehat{BAP})=\alpha$ ve $m(\widehat{ABP})=\beta $ gelir. $P$'den $S_1$ ve $S_2$'ye teğet olan doğruyu çizelim ve $AB$'yi kestiği noktaya $E$ diyelim. Yine teğet açı özelliğinden $m(\widehat{APE})=\alpha $ ve $m(\widehat{BPE})= \beta $ elde ederiz. $ABP$ üçgeninde $2\alpha+2\beta=180^\circ $'den $\alpha+\beta=m(\widehat{APB})=90^\circ $ bulunur. $AC$ ve $BD$ kesişimine $F$ dersek $\triangle APB\sim\triangle CFD$ benzerliğinden $m(\widehat{DFC})=90^\circ$ bulunur.