Gönderen Konu: 2020 yi iki tam kare farkı olarak yazma {çözüldü}  (Okunma sayısı 48 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3012
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
2020 yi iki tam kare farkı olarak yazma {çözüldü}
« : Haziran 28, 2020, 03:30:25 ös »
Problem (Lokman GÖKÇE): $x, y$ pozitif tam sayılar olmak üzere $x^2 - y^2=2020$ denkleminin kaç tane $(x,y)$ ikilisi çözümü vardır?


$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 3 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ 5 \qquad\textbf{e)}\ 6$
« Son Düzenleme: Haziran 30, 2020, 04:39:06 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 272
  • Karma: +7/-0
Ynt: 2020 yi iki tam kare farkı olarak yazma
« Yanıtla #1 : Haziran 28, 2020, 08:53:16 ös »
Cevap: $\boxed{A}$

$$x^2-y^2=(x+y)(x-y)=2^2\cdot 5\cdot 101$$ $(x+y)$ ve $(x-y)$ arasındaki fark $2y$, yani çift olduğundan $(x+y)$ ve $(x-y)$'nin pariteleri aynıdır. Çarpımları çift olduğundan $(x+y)$ ve $(x-y)$ çift olmalıdır. $x+y=2m$ ve $x-y=2n$ diyelim. Taraf tarafa toplar ve çıkartırsak $x=m+n$ ve $y=m-n$ olur. $y$ pozitif olduğundan $m>n$'dir. $$(x+y)(x-y)=4mn=4\cdot 5\cdot 101\Rightarrow mn=5\cdot 101$$ Buradan $(m,n)=(505,1),(101,5)$ çözümleri bulunur. Yerine yazarsak $(x,y)=(506,504),(106,96)$ bulunur.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal