Gönderen Konu: 2020 yi iki tam kare toplamı olarak yazma {çözüldü}  (Okunma sayısı 138 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3012
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
2020 yi iki tam kare toplamı olarak yazma {çözüldü}
« : Haziran 28, 2020, 03:27:45 ös »
Problem (Lokman GÖKÇE): $2020$ sayısını iki tam karenin toplamı olarak kaç farklı yolla yazabiliriz? ($a^2 + b^2$ ile $b^2 + a^2$ yazılışları aynı kabul edilecektir.)

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$
« Son Düzenleme: Temmuz 02, 2020, 02:16:33 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 272
  • Karma: +7/-0
Ynt: 2020 yi iki tam kare toplamı olarak yazma
« Yanıtla #1 : Haziran 28, 2020, 07:45:37 ös »
Cevap: $\boxed{B}$

$2020$ sayısını asal çarpanlarına ayırırsak $2^2\cdot 5\cdot 101$ elde ederiz. $$x^2+y^2=2020$$ denklemi için sağ taraf $4$ ile bölündüğünden sol taraf da bölünmelidir. $$x^2+y^2\equiv 0 \pmod{4}\Rightarrow x\equiv y\equiv 0\pmod{2}$$ olacaktır, yani $x$ ve $y$ çifttir. $x=2a$ ve $y=2b$ dersek $$a^2+b^2=505=5\cdot 101$$ olur. $a_1^2+b_1^2=5$ denkleminin çözümleri $(a_1,b_1)=(1,2),(2,1)$ ve $a_2^2+b_2^2=101$ denkleminin çözümleri $(a_2,b_2)=(1,10),(10,1)$'dir. $$(c^2+d^2)(m^2+n^2)=(cm+dn)^2+(cn-dm)^2=(cm-dn)^2+(cn+dm)^2$$ olduğundan $$505=5\cdot 101=(1^2+2^2)(1^2+10^2)=(1\cdot 1+2\cdot 10)^2+(1\cdot 10-2\cdot 1)^2=(1\cdot 1-2\cdot 10)^2+(1^\cdot 10+2\cdot 1)^2$$ olur. Buradan $(a,b)=(21,8),(19,12)$ bulunur. ($-19$ yerine $19$ yazdık çünkü tam sayılarda $a$ bir çözümse $-a$ da bir çözümdür fakat biz pozitifi arıyoruz, ayrıca simetrileri de aynı sayıldığından eklemedik.) Şimdi bu denklem için başka çözüm olmadığını gösterelim. Bunun için elde ettiğimiz çözümler dışında da çözüm olduğunu varsayalım. Bu çözüm $(a,b)=(u,v)$ olsun. $$u^2+v^2\equiv 0\pmod{5}\Rightarrow \left (\dfrac{u}{v}\right )^2\equiv -1\pmod{5}\Rightarrow \dfrac{u}{v}\equiv 2,-2\pmod{5}$$ olur. Benzer şekilde $$u^2+v^2\equiv 0\pmod{101}\Rightarrow \left (\dfrac{u}{v}\right )^2\equiv -1\pmod{101}\Rightarrow \dfrac{u}{v}\equiv 10,-10\pmod{101}$$ olur. (Burada önemli olan $10$ ve $-10$ değerlerini bulmak değil sadece $2$ çözüm olacağını bulmaktır ki bunu da $4k+1$ formatındaki asal sayılar için genellemek zor değildir.) Elde ettiğimiz iki denklemi birleştirirsek, $$\dfrac{u}{v}\equiv r,t,-r,-t \pmod{505}$$ olacak şekilde $4$ değer alabilir. (Her iki eşitlikte de iki durum olduğundan toplam $4$ çözüm olacaktır ve çözümler birbirinin toplama işlemine göre tersi olduğundan ortak çözümler de ikişerli olarak toplama işlemine göre ters olacaktır.) Elde ettiğimiz çözümleri incelersek $$\dfrac{21}{8}\not\equiv \dfrac{19}{12} \pmod{505}$$ ve $$\dfrac{21}{8}\not\equiv -\dfrac{19}{12} \pmod{505}$$ olduğundan genelliği bozmadan $\dfrac{21}{8}\equiv r \pmod{505}$ ve $\dfrac{19}{12}\equiv t \pmod{505}$ diyebiliriz. (Bu değerler birer çözüm olduğundan bölümleri
$505$ modunda $r,t,-r,-t$ değerlerinden birine eşit olmalı.)

i) $\dfrac{u}{v}\equiv r \pmod{505}$ ise $\dfrac{u}{v}\equiv \dfrac{21}{8}\equiv r \pmod{505}$ dolayısıyla $u\equiv vr\pmod{505}$ ve $21\equiv 8r\pmod{505}$ olur. Bu ikisini taraf tarafa çıkarırsak, $$(u-21)\equiv (v-8)r\pmod{505}\Rightarrow (u-21)^2\equiv -(v-8)^2\pmod{505}\Rightarrow (u-21)^2+(v-8)^2\equiv 0\pmod{505}$$ olur. $u^2+v^2=505$ olduğundan $u,v<\sqrt{505}$ olmalıdır. (Eşit olamayacağı açıktır.) Dolayısıyla $$(u-21)^2+(v-8)^2<(\sqrt{505})^2+(\sqrt{505})^2=1010$$ olur. Ayrıca ifade $505$'in katı olacağından $(u-21)^2+(v-8)^2=505$ olmalıdır. $$(u-21)^2+(v-8)^2=u^2+v^2+21^2+8^2-42u-16v=1010-42u-16v=505$$ olur fakat eşitliğin sağ tarafı tek, sol tarafı çift olduğundan çelişki olur.

ii) $\dfrac{u}{v}\equiv t \pmod{505}$ ise $\dfrac{u}{v}\equiv \dfrac{19}{12}\equiv t \pmod{505}$ dolayısıyla $u\equiv vt\pmod{505}$ ve $19\equiv 12t\pmod{505}$ olur. Bu ikisini taraf tarafa çıkarırsak, $$(u-19)\equiv (v-12)t\pmod{505}\Rightarrow (u-19)^2\equiv -(v-12)^2\pmod{505}\Rightarrow (u-19)^2+(v-12)^2\equiv 0\pmod{505}$$ olur. $$(u-19)^2+(v-12)^2<(\sqrt{505})^2+(\sqrt{505})^2=1010$$ olur. Ayrıca ifade $505$'in katı olacağından $(u-19)^2+(v-12)^2=505$ olmalıdır. $$(u-19)^2+(v-12)^2=u^2+v^2+19^2+12^2-38u-24v=1010-38u-24v=505$$ olur fakat eşitliğin sağ tarafı tek, sol tarafı çift olduğundan çelişki olur.

iii) $\dfrac{u}{v}\equiv -r \pmod{505}$ ise $u\equiv -vr\pmod{505}$ ve $21\equiv 8r\pmod{505}$ olur. İkinci ifadeyi $r$ ile çarparsak $8\equiv -21r\pmod{505}$ olur. İfadeleri taraf tarafa çıkarırsak, $$(u-8)\equiv (21-v)r\pmod{505}\Rightarrow (u-8)^2\equiv -(21-v)^2\pmod{505}\Rightarrow (u-8)^2+(21-v)^2\equiv 0\pmod{505}$$ olur. $$(u-8)^2+(21-v)^2<2\cdot (\sqrt{505})^2=1010$$ olur. İfade $505$'in katı olacağından $(u-8)^2+(21-v)^2=505$ olmalıdır. $$(u-8)^2+(21-v)^2=u^2+v^2+21^2+8^2-16u-42v=1010-16u-42v=505$$ olur fakat eşitliğin sağ tarafı tek, sol tarafı çift olduğundan çelişki olur.

iv) $\dfrac{u}{v}\equiv -t \pmod{505}$ ise $u\equiv -vt\pmod{505}$ ve $19\equiv 12t\pmod{505}$ olur. İkinci ifadeyi $t$ ile çarparsak $12\equiv -19t\pmod{505}$ olur. İfadeleri taraf tarafa çıkarırsak, $$(u-12)\equiv (19-v)t\pmod{505}\Rightarrow (u-12)^2\equiv -(19-v)^2\pmod{505}\Rightarrow (u-12)^2+(19-v)^2\equiv 0\pmod{505}$$ olur. $$(u-12)^2+(19-v)^2<2\cdot (\sqrt{505})^2=1010$$ olur. İfade $505$'in katı olacağından $(u-12)^2+(19-v)^2=505$ olmalıdır. $$(u-12)^2+(19-v)^2=u^2+v^2+12^2+19^2-24u-38v=1010-24u-38v=505$$ olur fakat eşitliğin sağ tarafı tek, sol tarafı çift olduğundan çelişki olur.

Dolayısıyla sadece $(a,b)=(19,12),(21,8)$ çözümleri vardır. Yani $(x,y)=(38,24),(42,16)$ çözümlerini elde ederiz.

Not 1: Bu sorunun daha kısa deneme-yanılma yollarıyla çözülebileceğinin farkındayım fakat matematiksel olarak eksiksiz bir çözüm yapmak istediğimden bu uzun yolu gösterdim.

Not 2: Bu sorunun genel halini yani $x^2+y^2=n$ denkleminin doğal sayılarda ve $(x,y)$ ile $(y,x)$ farklı çözümler olacak şekildek toplam çözüm sayısını daha önce yaptığım bir çalışmada elde etmiştim. (Araştırmam sırasında internette bu bulguyu gösteren bir kaynakla karşılaşmamıştım.) Öyle ki, $q_i$ asal sayıları $4k+3$ formunda ve $p_j$ asal sayıları $4k+1$ formunda olmak üzere, $n=2^a\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}\cdot q_1^{\beta_1}\cdot q_2^{\beta_2}\cdots q_m^{\beta_m}$ için, $$x^2+y^2=n$$ denkleminin çözüm sayısı,

i) Eğer $\beta_1,\beta_2,\dots\beta_m$'den en az biri tekse $0$,
ii)Eğer $\beta_1,\beta_2,\dots\beta_m$'nin hepsi çiftse $$(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)+\dfrac{1-(-1)^{(a+1)(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1)}}{2}$$ 'dir.
« Son Düzenleme: Haziran 30, 2020, 01:45:48 öö Gönderen: metonster »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3012
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: 2020 yi iki tam kare toplamı olarak yazma
« Yanıtla #2 : Haziran 30, 2020, 05:18:57 öö »
Kendi çözümümü ekleyeyim:

Çözüm: $a^2 + b^2 =2020$ yazalım. $a\leq b$ kabul edebiliriz. $a$ ve $b$ sayılarının paritesinin aynı olması gerektiği açıktır. Aksi halde biri çift, diğeri tek olsa $a^2 + b^2 $ toplamı tek sayı olurdu. Şimdi $a$, $b$ sayılarının her ikisi de tek olsa $a^2 + b^2 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{4}$ olur. Fakat $2020 \equiv 0 \pmod{4}$ olduğundan bir çelişki oluşur. O halde $a$, $b$ sayılarının her ikisi de çifttir. $x$, $y$ birer pozitif tam sayı olmak üzere $a=2x$, $b=2y$ yazabiliriz. $4x^2 + 4y^2=2020$ olup $x^2 +y^2=505$ denklemi elde edilir. $x\leq y$ olduğundan $2y^2 \geq 505 $ ve $y^2 \leq 505$ olup $16 \leq y \leq 22$ elde edilir. Bu değerler incelenirse $y=19$ için $x^2 + 361 = 505 \implies x= 12$ ve $y=21$ için $x^2 + 441 = 505 \implies x= 8$ bulunur.

Sonuç olarak $(a,b)=(2x,2y)=(16,42), (24, 38)$ biçiminde iki çözüm bulunur. $2020 = 16^2 + 42^2 = 24^2 + 38^2$ olur.



Notlar:
Metin Can'ın çözümü çok ilginç ve genel. 2014 yılında burada $x\leq y$ olmak üzere $x^2 + y^2 = 21125$ denkleminin pozitif tam sayılardaki çözüm sayısını sormuştum. wolfram'a yazınca tam sayılarda $48$ tane çözüm olduğunu veriyor. Dolayısıyla pozitif tam sayılarda $x\leq y$ şartına uygun olarak tam $\dfrac{48}{8}=6$ tane çözüm geleceğini anlarız. AoPS forumundaki amca da denklemin çözümlerini makineye hesaplatarak bu sonucu söylemiş gibi görülüyor. Böyle yaparak aslında çözüm yöntemi hakkında hiçbir şey söylememiş oluyor. Orada da belirttiğim gibi, bazı çözümleri $(a^2 + b^2)(c^2+d^2)=(ac -bd)^2 + (ad +bc)^2$ Euler özdeşliği yardımıyla elde edebildiğimizi görebiliyordum. Fakat genel bir yöntem görememiştim. Adım adım çözüm istedim, AoPS kullanıcılarından da bu konuda herhangi bir yorum gelmedi. Orada da genel bir metot bilen yok gibi görülüyor. Yukarıdaki çözümü ana hatları ile okudum ama tüm detaylarını henüz inceleyemedim. Çözüm sayısı formülü doğru ise yeni bir buluş olabilir. İşin uzmanı sayı teorici akademisyenlere gösterip formül ile ilgili bilgi almak daha sağlam bir yaklaşım olur.
« Son Düzenleme: Haziran 30, 2020, 03:09:46 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı Squidward

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 67
  • Karma: +3/-0
Ynt: 2020 yi iki tam kare toplamı olarak yazma
« Yanıtla #3 : Haziran 30, 2020, 02:51:27 ös »
Çözüm gerçekten ilginç ve @metonster'in sonda verdiği formül gerçekten doğru ve literatürde Jacobi Two-Square Theorem olarak geçiyor. https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_squares_function linkinde bir $N$ sayısının kaç farklı şekilde $k$ tamkare sayının toplamı şeklinde yazılabildiğiyle ilgili formüller var.
ibc

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 272
  • Karma: +7/-0
Ynt: 2020 yi iki tam kare toplamı olarak yazma
« Yanıtla #4 : Haziran 30, 2020, 04:58:15 ös »
Çözüm gerçekten ilginç ve @metonster'in sonda verdiği formül gerçekten doğru ve literatürde Jacobi Two-Square Theorem olarak geçiyor. https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_squares_function linkinde bir $N$ sayısının kaç farklı şekilde $k$ tamkare sayının toplamı şeklinde yazılabildiğiyle ilgili formüller var.

Burada çalışmamın detayını paylaştım hocam. Çalışmayı yaptığım sıralarda sizin belirttiğiniz wikipedia sayfasını gözden kaçırmışım galiba. Ben araştırma sırasında $x^2+y^2=n$ yerine $x^2+ny^2=p$ denklemine odaklanmıştım ve onu genelleştirmiştim, belki ondan dolayı görmemişimdir. Fakat belirtiğiniz teorem de oldukça kapsamlı gözüküyor.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal