Gönderen Konu: Tamdeğerli Sonsuz Toplam  (Okunma sayısı 149 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 272
  • Karma: +7/-0
Tamdeğerli Sonsuz Toplam
« : Haziran 17, 2020, 07:24:35 ös »
$k\geq 1$ tam sayı olmak üzere, $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{\left \lfloor n^{\frac{1}{k}} \right \rfloor}$$ sonsuz toplamını hesaplayınız. (Burada $\lfloor x \rfloor$ tamdeğer fonksiyonudur.)
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 272
  • Karma: +7/-0
Ynt: Tamdeğerli Sonsuz Toplam
« Yanıtla #1 : Haziran 21, 2020, 05:47:55 ös »
$\left \lfloor n^{\frac{1}{k}} \right \rfloor=m$ olsun. $$m\leq n^{\frac{1}{k}} < m+1 \Leftrightarrow m^k\leq n < (m+1)^k\Leftrightarrow m^k\leq n\leq (m+1)^k-1$$ Yani $[m^k,(m+1)^k-1]$ aralığındaki her $n$ tam sayısı için $\left \lfloor n^{\frac{1}{k}} \right \rfloor=m$ olur. Dolayısıyla, $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{\left \lfloor n^{\frac{1}{k}} \right \rfloor}=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=m^k}^{(m+1)^k-1} \dfrac{(-1)^{n+1}}{\left \lfloor n^{\frac{1}{k}} \right \rfloor}=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=m^k}^{(m+1)^k-1} \dfrac{(-1)^{n+1}}{m}=\sum_{m=1}^{\infty}\left (\dfrac{1}{m} \sum_{n=m^k}^{(m+1)^k-1} (-1)^{n+1}\right )$$ $(-1)^{n+1}$'li toplamı ele alalım. $$\sum_{n=m^k}^{(m+1)^k-1} (-1)^{n+1}=(-1)^{m^k+1}+(-1)^{m^k+2}+\cdots +(-1)^{(m+1)^k}$$ Burada $(m+1)^k-(m^k+1)+1=(m+1)^k-m^k$ terim vardır. $\{ -1,1,-1,...\}$ dizisinde ardışık çift sayıdaki sayının toplamı sıfırdır. Bizim elde ettiğimiz toplamda ise $(m+1)^k-m^k$ tek sayı olduğundan (Bariz olduğundan ispatlamıyorum.) ilk terim haricindeki diğer tüm terimlerin toplamı 0 olacaktır. Dolayısıyla $$\sum_{n=m^k}^{(m+1)^k-1} (-1)^{n+1}=(-1)^{m^k+1}+(-1)^{m^k+2}+\cdots +(-1)^{(m+1)^k}=(-1)^{m^k+1}=(-1)^{m+1}$$ ($m$ ile $m^k$'nın paritesi aynı olduğundan bunu yapabiliriz.) Dolayısıyla, $$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{\left \lfloor n^{\frac{1}{k}} \right \rfloor}=\sum_{m=1}^{\infty}\left (\dfrac{1}{m} \sum_{n=m^k}^{(m+1)^k-1} (-1)^{n+1}\right )=\sum_{m=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{m+1}}{m}=\ln 2$$

Not: Fark edildiği gibi sonuç $k$'ya bağlı değil ve soruda $k$'nın pozitif tam sayı da olmasını kullanıyoruz. Aynı toplamı $k$'nın rasyonel veya reel sayı olması durumunda da elde edebilir miyiz? Eğer bu konuyla ilgili bir fikriniz veya çözümünüz varsa belirtirseniz sevinirim.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimiçi scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3012
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Tamdeğerli Sonsuz Toplam
« Yanıtla #2 : Haziran 24, 2020, 12:46:25 ös »
$k=1$ için $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{\left \lfloor n^{\frac{1}{k}} \right \rfloor}$ toplamı
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2$$
ifadesine dönüşmektedir. Her $k>1$ tam sayısı için sanki $\left \lfloor n^{\frac{1}{k}} \right \rfloor = n $ eşitliği varmış gibi davranıyor. Fakat öyle bir şey de yok ortada. Örneğin $k=2$, $n=4$ için $\left \lfloor \sqrt{4} \right \rfloor \neq 4 $ olur. Acaba çözümde bir hata mı var diye düşündürdü bana. $k$ nın çeşitli değerleri için wolframalpha'ya gönderelim:

$k=2$ değeri için burada
$k=3$ değeri için burada

İlk bakışta sonuçlar farklı duruyor. Fakat wolframalpha da sonucu karmaşık sayı olarak verdiğine göre programın bir hata yaptığı anlaşılıyor. Metin Can hocamın yukarıdaki çözümünde de bir hata göremedim.

İlk yazılan $m\leq n^{\frac{1}{k}} < m+1 \Leftrightarrow m^k\leq n < (m+1)^k\Leftrightarrow m^k\leq n\leq (m+1)^k-1 $ türü eşitsizlikler $k$ rasyonel iken de yazılabiliyor mu buna bakmakta fayda var.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal