Gönderen Konu: Crux 1975 Problem 25 {çözüldü}  (Okunma sayısı 194 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3012
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Crux 1975 Problem 25 {çözüldü}
« : Haziran 10, 2020, 12:59:59 ös »
Problem (Viktors Linis): $k$, $\ell$ pozitif tam sayılar olmak üzere $36^k -5^{\ell}$ ifadesinin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değer kaçtır?
« Son Düzenleme: Haziran 12, 2020, 12:11:36 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı berksel03

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 5
  • Karma: +0/-0
Ynt: Crux 1975 Problem 25
« Yanıtla #1 : Haziran 12, 2020, 10:34:48 öö »
$k=1$  ve $\ell=2$ için $11$ değerini elde edebiliyoruz. İfadeyi $\mod 5$'te incelersek, her zaman $1$'e denk olacağını görebiliriz. Yani bu ifade $1, 6, 11, \dots , 5n+1, \dots $ değerlerini alabilir. $1$ ile $6$ değerlerinin olamayacağını gösterelim. $36^k - 5^{\ell} = 6$ için $\mod6$'dan dolayı çözüm gelmeyeceği açıktır. $36^k−5^\ell =1$ olsun. $5^\ell = (6^k−1)(6^k+1)$ biçiminde çarpanlara ayrılır. Fakat $6^k+1\equiv 2 {\pmod5}$ olduğundan buradan da çözüm gelmez.Bu ifadenin alabileceği en küçük pozitif değer $11$'dir.
« Son Düzenleme: Haziran 12, 2020, 12:11:18 ös Gönderen: scarface »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3012
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Crux 1975 Problem 25
« Yanıtla #2 : Haziran 17, 2020, 12:47:29 ös »
Çözüm 2:

Her $k, \ell $ pozitif tam sayısı için

$36^k \equiv 6^k \equiv 6 \pmod{10}$ ve $5^{\ell} \equiv 5 \pmod{10}$ olduğundan $ 36^k -  5^{\ell} \equiv 1 \pmod{10}$ olur. Böylece  $36^k -  5^{\ell}$ ifadesinin $10n +1$ formunda bir pozitif tam sayı olabileceğini anlarız.


En küçük değer için $n=0$ denenirse $ 36^k -  5^{\ell}=1$ için çözüm aramalıyız. $ 36^k - 1 = 5^{\ell}$ olup iki kare farkından $ (6^k +1)(6^k-1)=5^{\ell}$ olur.


$6^k +1=5^a$, $6^k -1=5^b$, $a+b=\ell$, $a>b$ olacak biçimde $a, b \in \mathbb N $ olmalıdır. Fakat buradan $5^a - 5^b =2$ çelişkisi bulunur.

O halde en küçük değer için $n=1$ verelim. $ 36^k -  5^{\ell}=11$ denklemini sağlayan $k=1$, $\ell = 2$ değeri vardır.




Ek Soru: $ 36^k -  5^{\ell}=11$ denkleminin $k=1$, $\ell = 2$ değerlerinden başka pozitif tam sayılarda çözümü var mıdır?



Çözüm: $ 36^k -  5^{\ell}=11$ denkleminini $\mod 6$ da incelersek $(-1)^{\ell} \equiv 1 \pmod{6}$ olup buradan $\ell = 2m$ biçiminde pozitif çift tam sayı olmalıdır. Böylece $ 36^k -  5^{2m}=11$ olup iki kare farkı özdeşliğinden $ (6^k +5^m)(6^k-5^m)=11$ yazılır. Yalnızca

$$ \begin{array}{lcl} 6^k +5^m&=&11 \\ 6^k - 5^m &=&1 \\ \end{array} $$

durumu mümkün olup denklemler alt alta toplanırsa $2\cdot 6^k =12$ bulunur. Buradan tek çözüm $k=1$, $\ell = 2$ elde edilir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal