Gönderen Konu: Trigonometrik denklem  (Okunma sayısı 72 defa)

Çevrimdışı alpercay

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *******
  • İleti: 781
  • Karma: +14/-0
Trigonometrik denklem
« : Mayıs 14, 2020, 11:16:48 ös »
$3\cot^2x+8\cot x+3=0$ denklemini sağlayan $[0,2\pi] $aralığındaki $x$ değerleri toplamı nedir?
« Son Düzenleme: Mayıs 15, 2020, 12:55:24 öö Gönderen: scarface »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2966
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Trigonometrik denklem
« Yanıtla #1 : Mayıs 18, 2020, 03:23:44 öö »
$\cot x = t$ değişken değiştirmesi yapılırsa denklem $3t^2 + 8t +3=0$ biçimine dönüşür. $\Delta = 8^2 - 4\cdot 3 \cdot 3 = 28 >0$ olduğundan iki farklı gerçel $t$ çözümü vardır. Bunlara $t_1$, $t_2$ diyelim. Köklerin her ikisi de negatiftir. $t_{1,2} = \dfrac{-4\mp \sqrt{7}}{3}$ $t_1 + t_2 =\dfrac{8}{3}$ ve $t_1\cdot t_2 =1$ olduğunu da not edelim.

$\cot x = \dfrac{-4 + \sqrt{7}}{3}$ dersek $x$ değerleri $2.$ ve $4.$ bölgede olacaktır.  $x_1=\text{arccot}\dfrac{-4 + \sqrt{7}}{3} $ ve $x_2=\text{arccot}\dfrac{-4 + \sqrt{7}}{3} + \pi$ bulunur. 

Benzer biçimde $\cot x = \dfrac{-4 - \sqrt{7}}{3}$ dersek yine $x$ değerleri $2.$ ve $4.$ bölgede olacaktır. $x_3=\text{arccot}\dfrac{-4 - \sqrt{7}}{3} $ ve $x_4=\text{arccot}\dfrac{-4 - \sqrt{7}}{3} + \pi$ bulunur.

Sonuç olarak $x_1+x_2+x_3+x_4 = 2\text{arccot}\dfrac{-4 + \sqrt{7}}{3} + 2\text{arccot}\dfrac{-4 - \sqrt{7}}{3} +2\pi$ elde edilir. Fakat bu haliyle pek şık durmadı. $\cot(x_1 + x_3)$ için özdeşliği kullanacağız ancak hatırlayamadım. Hemen onu da ispat edelim:

$$\cot(x_1 + x_3) = \dfrac{1}{\tan(x_1 + x_3)}=\dfrac{1- \tan x_1 \cdot \tan x_3}{\tan x_1 + \tan x_3} = \dfrac{1-\dfrac{1}{\cot x_1 \cdot \cot x_3}}{\dfrac{1}{\cot x_1}+\dfrac{1}{\cot x_3}} \\ = \dfrac{\cot x_1 \cdot \cot x_3 - 1}{\cot x_1 + \cot x_3} \tag{1}$$

oluyormuş. $\cot x_1 \cdot \cot x_3 = t_1\cdot t_2 = 1$ ve $\cot x_1 + \cot x_3 = t_1 + t_2 = \dfrac{8}{3}$. O halde $(1)$ den dolayı $\cot (x_1+x_3) = 0$ bulunur. Buna göre $x_1+x_3 = \dfrac{\pi}{2}+k\pi$ dir. Ancak $x_1$, $x_3$ değerleri geniş açı olduğundan $k=1$ alınmalıdır. $x_1+x_3 = \dfrac{3\pi}{2}$ olur. $x_2 +x_4 = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{2} $ dir. Toplamda

$$ x_1+x_2+x_3+x_4 = 5\pi $$

elde edilir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal