Gönderen Konu: Ortak İki Noktadan Geçen Üç Çember {Çözüldü}  (Okunma sayısı 191 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2966
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ortak İki Noktadan Geçen Üç Çember {Çözüldü}
« : Mayıs 07, 2020, 04:56:08 öö »
Lemma 1 (Lokman GÖKÇE): Sabit $D$ ve $E$ noktalarından geçen üç sabit çemberin $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezleri $DE$ doğrusunun aynı tarafında bulunuyor olsun. $E$ noktasından geçen keyfi bir doğru $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezli çemberleri sırasıyla $A$, $B$, $C$ noktalarında kessin. Bu halde
$$ \dfrac{|AB|}{|BC|}$$
oranı sabittir.

« Son Düzenleme: Mayıs 08, 2020, 04:49:27 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2966
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Ortak İki Noktadan Geçen Üç Çember
« Yanıtla #1 : Mayıs 07, 2020, 05:17:18 öö »
$O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezli çemberlerin yarıçapları sırasıyla sabit $r_1$, $r_2$, $r_3$ değerleri olsun. $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezleri $[DE]$ nin orta dikme doğrusu üzerinde bulunurlar. $E$ noktasından geçen doğru ile $O_1O_3$ doğrusunun kesişimi $F$ olsun. Çemberde kuvvet teoreminden

$$|FE|\cdot |FA|=|FO_1|^2 - r_1^2 =c_1$$
$$|FE|\cdot |FB|=|FO_2|^2 - r_2^2 =c_2$$
$$|FE|\cdot |FC|=|FO_3|^2 - r_3^2 =c_3$$

($c_i$ ler sabit) eşitlikleri yazılır. Buradan $ \dfrac{|FE|\cdot |FB|}{|FE|\cdot |FA|} = \dfrac{c_2}{c_1}$ olup $ \dfrac{|FB|}{|FA|}$ oranının sabit olduğu anlaşılır.

Dolayısıyla $ \dfrac{|FB|}{|FA|} - 1 = \dfrac{|AB|}{|FA|}$ oranı da sabittir. Benzer biçimde $\dfrac{|AC|}{|FA|}$ oranının da sabit olduğu gösterilebilir.

Böylelikle $\dfrac{|AC|/|FA|}{|AB|/|FA|}=\dfrac{|AC|}{|AB|}$ ve $\dfrac{|AC|}{|AB|}-1 = \dfrac{|BC|}{|AB|}$ değerleri de sabit olur.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2966
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Ortak İki Noktadan Geçen Üç Çember
« Yanıtla #2 : Mayıs 08, 2020, 04:49:07 ös »
Lemma 2 (Lokman GÖKÇE): Sabit $D$ ve $E$ noktalarından geçen üç sabit çemberin $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezleri $DE$ doğrusunun aynı tarafında bulunuyor olsun. $E$ noktasından geçen keyfi bir doğru $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezli çemberleri sırasıyla $A$, $B$, $C$ noktalarında kessin. $D$ noktasından geçen keyfi bir doğru $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezli çemberleri sırasıyla $G$, $H$, $K$ noktalarında kessin. Bu halde
$$ \dfrac{|AB|}{|BC|} =  \dfrac{|GH|}{|HK|} $$

eşitliği vardır.

İspat: Lemma 1'den dolayı $\dfrac{|AB|}{|BC|}$ ve $\dfrac{|GH|}{|HK|}$ oranları sabittir. $D$ ve $E$ noktaları $O_1O_3$ doğrusuna göre simetrik olduğundan bu iki sabit değer eşit olmalıdır. Buna göre,
$$ \dfrac{|AB|}{|BC|} =  \dfrac{|GH|}{|HK|} $$
olur.

Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2966
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Ortak İki Noktadan Geçen Üç Çember
« Yanıtla #3 : Mayıs 08, 2020, 05:16:11 ös »
Lemma 3 (Lokman GÖKÇE): Sabit $D$ ve $E$ noktalarından geçen üç sabit çemberin $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezleri $DE$ doğrusunun aynı tarafında bulunuyor olsun. $E$ noktasından geçen keyfi bir doğru $O_1$, $O_2$, $O_3$ merkezli çemberleri sırasıyla $A$, $B$, $C$ noktalarında kessin. $DC$ doğrusu da $O_1$, $O_2$ merkezli çemberleri sırasıyla $G$, $H$ noktalarında kessin. Bu durumda $AG \parallel BH$ olur.

İspat 1: Lemma 2'den dolayı $\dfrac{|AB|}{|BC|} =  \dfrac{|GH|}{|HC|}$ olur. Thales teoreminden dolayı $AG \parallel BH$ elde edilir.


İspat 2: $AEDG$ ve $BDEH$ kirişler dörtgeni olduğundan $\widehat{AGD}$ ile $\widehat{AED}$, ayrıca $\widehat{BHD}$ ile $\widehat{AED}$ bütünler açılardır. Böylece $m(\widehat{AGD})=m(\widehat{BHD})$ olup $AG \parallel BH$ elde edilir.

Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal