$(k_2 = 1, N=1)$ Kesen Problemi

[geo]

Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine konusunda anlatılan $(k_2 = 1, N=1)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;

$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AB:DC=1$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC = b = x$, $\angle ACB = c = x/2$, $\angle BAC = a = 180^\circ - 3x/2$, $\angle ADC = d = 180^\circ - x$, $\angle BAD = a_1 = 180^\circ - x$, $\angle CAD = a_2 = x/2$ açıları verilen şartı sağlamakta. Bunlardan herhangi ikisi verildiğinde diğerlerinin bulunmasının sorulduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_2 = 1 & 1.1 & (k_2 = 1, b=x, c = x/2)  & a_1 = 180^\circ - 2x \\
& 1.2 & (k_2 = 1, a=180^\circ - 3x/2, d = 180^\circ -x)  & a_1 = 180^\circ - 2x \\
& 1.3 & (k_2 = 1, b=x, a_1 = 180^\circ -2x)  & a_2 = x/2 \\
& 1.4 & (k_2 = 1, b=x, a_2 = x/2)  & a_1 = 180^\circ - 2x \\
&1.5^* & (k_2 = 1, c=x/2, a_1 = 180^\circ - 2x)  & a_2^* = x/2 \\
& 1.6 & (k_2 = 1, c=x/2, a_2 = x/2)  & a_1 = 180^\circ - 2x \\
& 1.7 & (k_2 = 1, a_1=180^\circ - 2x , a_2 = x/2)  & b = x \\

\end{array}
$$

İlgili soruların forumda işlendiği başlıklar:

1.1
1.2
1.3
1.4
1.5 (^*: Bu soru için birden fazla cevap vardır ve cevaplar arasında basit bir ilişki yoktur.)
1.6
1.7

[geo]

$(k_2 =  1, N=1.3)$ ve $(k_2 =  1, N=1.6)$ soruları ilköğretim ayarında açı sorusu olup $AB=AD=DC$ eşitliği hemen yazılıp sonuca ulaşılabiliyor.

Bu soru tipine ait $5.$ model hariç tüm soru modellerinde açı kenar bağıntıları kullanarak

• $AB\overset{?}{>}AD$ ve $CD \overset{?}{>} AD$
• $AB\overset{?}{<}AD$ ve $CD \overset{?}{<} AD$

testlerini yaptığımızda çelişki elde ederiz. Bu da $AB = CD = AD$ olduğu anlamına gelir.

Örn.
$(k_2 =  1, N=1.4)$ için bu yöntemle yapılmış bir çözüm mevcuttur.

$(k_2 = 1, N=1.5)$ için
$a_1 = 180^\circ - 2x$, $c = x/2$  ve $\angle DAC = a_2 =y$ dersek, $b = 3x/2 - y$, $\angle ADB = x/2 + y$ olacaktır.
$AB > AD$ den $x/2 + y > 3x/2 - y \Rightarrow y > x/2$; $DC > AD$ den $y > x/2$ elde ederiz. Bu da bizi bir yere götürmez.

$N=1.5$ için $y = x/2$ çözümünün üçgen şartlarını sağladığını kolayca görebiliriz; fakat başka bir çözüm olup olmadığı konusunda emin değilim. Yani $(k_2 = 1, N=1.5)$ problemi şu an için açık bir soru.

[geo]

$N=1.5$ problemi, belki daha doğrusu $(k_2, N=x.5)$ problemleri $2$ cevap içerebiliyor.

$\triangle ABC$ ve $D$ noktası bu probleme ait bir çözüm olmak üzere; $ABC$ çevrel çemberi üzerndeki $P$ noktaları için de $\angle ACB = APB$ olacaktır. $BP$ üzerinde $PD' = CD$ olacak şekilde alınan $D'$ noktalarının geometrik yeri Geogebra'ya tahmini olarak hesaplatılınca şekildeki gibi bir eğri olarak elde ediliyor.



Bu eğri ile $AD$ doğrusu $D$ den farklı bir noktada daha kesişebiliyor. Birkaç denemede bu diğer noktanın açılarının genelde kolay hesaplanabilir değerler olmadığı (Burada kolay hesaplanabilen bir örnek yer alıyor.) ortaya çıkıyor.

Yukarıdaki çıkarımların doğruluğunu ispat etmek için $AD$ doğrusu ile $D'$ geometrik yerinin en fazla iki noktada kesiştiğinin gösterilmesi gerekir. Bu da şu an için açık bir soru.

Özetle $N=1.5$ soru ailesini sağlayan değerlerden birini bulabiliyoruz, diğerinin hesaplanması pek kolay değil. Onun için bazı özel durumlar için $x.5$ soru aileleri pek çözülebilir sorular değil.