Gönderen Konu: Üçgende Kesenin Kenarlar İle Yaptığı Açı Üzerine  (Okunma sayısı 208 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1760
  • Karma: +8/-0
Üçgende Kesenin Kenarlar İle Yaptığı Açı Üzerine
« : Mayıs 03, 2020, 06:47:57 ös »
$ABC$ bir üçgen ve $AD$ bu üçgene ait kesen ($D \in [BC]$) olmak üzere;

$BD:DC = k_1$, $AB:DC = k_2$, $AD:BC = k_3$ oranlarına göre $\angle ABC = b$, $\angle ACB = c$, $\angle BAC = a$, $\angle ADC = d$, $\angle BAD = a_1$, $\angle CAD = a_2$ açılarını inceleyeceğiz.

$k \in \{k_1, k_2, k_3 \}$ ve $\{m_1, m_2\} \subset \{a,b,c,d,a_1,a_2\}$ (açıların ölçüleri yerine tanımlarının kümesi olarak düşünelim.) olmak üzere; $(k, m_1, m_2)$ verilenleri ile diğer bilinmeyenleri bulmaya çalışacağız.

Örneğin; $(k_1 = 1, b = 30^\circ, c = 15^\circ)$ ile

"$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $BD:DC=1$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 15^\circ$ ise $\angle BAD = 105^\circ$ ve $\angle DAC = 30^\circ$ olduğunu gösteriniz."

sorusunu ifade ediyoruz.

$(k_1 = x, N = n)$ ya da $(k_1 = x, N = n.i)$ ile oluşturduğumuz sorulara numara vereceğiz. $n$ ile soru ailesinin bu başlık altında yer alma sırasına göre atanmış bir numara; $i$ ile de bu ailenin verilen iki açısının kombinasyonlarının sırasını göstereceğiz. Standart olması açısından aşağıdaki numaralandırmayı takip edelim.

$(b,c) \Rightarrow i = 1$,
$(a,d) \Rightarrow i = 2$,
$(b,a_1) \Rightarrow i = 3$,
$(b,a_2) \Rightarrow i = 4$,
$(c,a_1) \Rightarrow i = 5$,
$(c,a_2) \Rightarrow i = 6$,
$(a_1,a_2) \Rightarrow i = 7$


$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_1 = 1/2 & 1.1 & (k_1 = 1/2, b=45^\circ, c = 15^\circ) & (a_1,a_2) = (75^\circ, 45^\circ) \\
               & 2.1 & (k_1 = 1/2, b=90^\circ, c = 30^\circ) & (a_1,a_2) = (30^\circ, 30^\circ) \\
               & 3.1 & (k_1 = 1/2, b=30^\circ, c = 30^\circ) & (a_1,a_2) = (30^\circ, 90^\circ) \\
\hline
k_1 = 1 & 1.1 & (k_1 = 1, b=x, c = x)  & (a_1,a_2) = (90^\circ - x, 90^\circ -x) \\
            & 2.1 & (k_1 = 1, b=x, c = 90^\circ - x)  & (a_1,a_2) = (x, 90^\circ -x) \\
            & 3.1 & (k_1 = 1, b=30^\circ, c = 15^\circ)  & (a_1,a_2) = (105^\circ, 30^\circ) \\
            & 4.1 & (k_1 = 1, b=30^\circ, c = 105^\circ)  & (a_1,a_2) = (15^\circ, 30^\circ) \\
\hline

k_1 = 2 & 1.1 & (k_1 = 1, b=30^\circ, c = 30^\circ)  & (a_1,a_2) = (90^\circ, 30^\circ) \\
            & 2.1 & (k_1 = 1, b=75^\circ, c = 45^\circ)  & (a_1,a_2) = (45^\circ, 15^\circ) \\
            & 3.1 & (k_1 = 1, b=15^\circ, c = 45^\circ)  & (a_1,a_2) = (45^\circ, 75^\circ) \\
\hline

k_2 = 1/3 & 1.1 & (k_2 = 1/3, b=60^\circ, c = 15^\circ)  & (a_1,a_2) = (45^\circ, 60^\circ) \\

\hline

k_2 = 1/2 & 1.1 & (k_2 = 1/2, b=x, c = x/2)  & (a_1,a_2) = (90^\circ - 3x/2, 90^\circ) \\
                & 2.1 & (k_2 = 1/2, b=90^\circ, c = 15^\circ)  & (a_1,a_2) = (60^\circ, 15^\circ) \\
                & 3.1 & (k_2 = 1/2, b=90^\circ, c = 22.5^\circ)  & (a_1,a_2) = (22.5^\circ, 45^\circ) \\
\hline
k_2 = 2/3 & 1.1 & (k_2 = 2/3, b=60^\circ, c = 30^\circ)  & (a_1,a_2) = (30^\circ, 60^\circ) \\

\hline
k_2 = 1 & 1.1 & (k_2 = 1, b=x, c = x/2)  & (a_1,a_2) = (180^\circ - 2x, x/2) \\
            & 2.1 & (k_2 = 1, b=x, c=x) &  (a_1,a_2) = (90^\circ - 3x/2, 90^\circ - x/2) \\
            & 3.1 & (k_2 = 1, b=12^\circ, c=18^\circ) &  (a_1,a_2) = (18^\circ, 132^\circ) \\
            & 4.1 & (k_2 = 1, b=12^\circ, c=30^\circ) &  (a_1,a_2) = (6^\circ, 132^\circ) \\
            & 5.1 & (k_2 = 1, b=20^\circ, c=30^\circ) &  (a_1,a_2) = (20^\circ, 110^\circ) \\
            & 6.1 & (k_2 = 1, b=20^\circ, c=40^\circ) &  (a_1,a_2) = (10^\circ, 110^\circ) \\
            & 7.1 & (k_2 = 1, b=24^\circ, c=30^\circ) &  (a_1,a_2) = (30^\circ, 96^\circ) \\
            & 8.1 & (k_2 = 1, b=24^\circ, c=54^\circ) &  (a_1,a_2) = (6^\circ, 96^\circ) \\             
            & 9.1 & (k_2 = 1, b=30^\circ, c=22.5^\circ) &  (a_1,a_2) = (82.5^\circ, 45^\circ) \\
            &10.1 & (k_2 = 1, b=30^\circ, c=45^\circ) &  (a_1,a_2) = (115^\circ, 90^\circ) \\             
            &11.1 & (k_2 = 1, b=40^\circ, c=30^\circ) &  (a_1,a_2) = (60^\circ, 50^\circ) \\
            &12.1 & (k_2 = 1, b=48^\circ, c=18^\circ) &  (a_1,a_2) = (102^\circ, 12^\circ) \\                           
            &13.1 & (k_2 = 1, b=132^\circ, c=18^\circ) &  (a_1,a_2) = (18^\circ, 12^\circ) \\             
            &14.1 & (k_2 = 1, b=80^\circ, c=20^\circ) &  (a_1,a_2) = (70^\circ, 10^\circ) \\             
            &15.1 & (k_2 = 1, b=100^\circ, c=20^\circ) &  (a_1,a_2) = (50^\circ, 10^\circ) \\             
            &16.1 & (k_2 = 1, b=84^\circ, c=30^\circ) &  (a_1,a_2) = (42^\circ, 24^\circ) \\             
            &17.1 & (k_2 = 1, b=96^\circ, c=30^\circ) &  (a_1,a_2) = (30^\circ, 24^\circ) \\       

\hline
k_2 = 2 & 1.1 & (k_2 = 2, b=30^\circ, c = 45^\circ)  & (a_1,a_2) = (60^\circ, 45^\circ) \\
            & 2.1 & (k_2 = 2, b=60^\circ, c = 60^\circ)  & (a_1,a_2) = (30^\circ, 30^\circ) \\

\hline
k_3 = 1/3 & 1.1 & (k_3 = 1/3, b=30^\circ, c = 30^\circ)  & (a_1,a_2) = (30^\circ, 90^\circ) \\
                & 2.1 & (k_3 = 1/3, b=105^\circ, c = 15^\circ)  & (a_1,a_2) = (15^\circ, 45^\circ) \\
\hline
k_3 = 1/2 & 1.1 & (k_3 = 1/2, b=x, c = 90^\circ-x)  & (a_1,a_2) = (x, 90^\circ - x) \\
                & 2.1 & (k_3 = 1/2, b=x, c = 90^\circ-x)  & (a_1,a_2) = (180^\circ - 3x, 3x - 90^\circ) \\

\hline
k_3 = 2/3 & 1.1 & (k_3 = 2/3, b=90^\circ, c = 30^\circ)  & (a_1,a_2) = (30^\circ, 30^\circ) \\

\hline
k_3 = 1 & 1.1 & (k_3 = 1, b=x, c = 180^\circ-2x)  & (a_1,a_2) = (180^\circ - 3x, 4x - 180^\circ) \\
            & 2.1 & (k_3 = 1, b=x, c = 90^\circ-x/2)  & (a_1,a_2) = (180^\circ - 2x, 3x/2 - 90^\circ) \\
            & 3.1 & (k_3 = 1, b=112.5^\circ, c = 22.5^\circ)  & (a_1,a_2) = (37.5^\circ, 7.5^\circ) \\
            & 4.1 & (k_3 = 1, b=100^\circ, c = 30^\circ)  & (a_1,a_2) = (40^\circ, 10^\circ) \\

\end{array}
$$

Örn. $(k_2=1, N=1.4)$ ya da $(k_2=1, b=x, a_2=x/2)$ problemi şu oluyor:

$ABC$ üçgeninde $BC$ kenarı üzerinde $D$ noktası $AB = CD$ olacak şekilde alınıyor. $\angle ABC = 2\cdot \angle DAC$ ise $\angle ACB = \angle DAC$ olduğunu gösteriniz.



Not: Bazı $N.i$ soru tipleri birden fazla cevap içerebilir, cevaplardan biri yukarıdaki konfigürasyonu sağlayacak bir değerken diğeri kolay hesaplanamayabilir. bkz. $(k_2=1, N=1.5)$

Diğer oranları da bu başlık altında paylaşırsanız, yukarıdaki tabloya ekleyebilirim.
« Son Düzenleme: Mayıs 21, 2020, 08:18:14 öö Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1760
  • Karma: +8/-0
Ynt: Üçgende Kesenin Kenarlar İle Yaptığı Açı Üzerine
« Yanıtla #1 : Mayıs 04, 2020, 05:14:22 öö »
$(k_2 = 1, N = 1)$
$(k_2 = 1, N = 2)$
« Son Düzenleme: Mayıs 21, 2020, 08:55:41 öö Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal