Üçgende Kenar Uzunlukları Oranı

[utku_2178]

$ABC$ bir üçgen, $D \in |BC|$ ve $E \in |AD|$ olmak üzere $|AD| = |BE| = |BD| = |CE|$ ve $ \dfrac {|AC|}{|BE|}=\sqrt 2$ ise $m(\widehat {ECB})$ kaçtır?

Hazırlayan: Utku Cem KARABULUT

[geo]

$AB=m$, $ED=a$, $CD=x$, $BE=BD=EC=AD=1$ dersek; $AE=1-a$, $AC=\sqrt 2$ olur.

$\triangle BEC$ de Stewart'ın özel halinden $1 = a^2 + 1\cdot x \Rightarrow x = 1-a^2$.

$\triangle ABD$ de Stewart'tan ya da Stewart'ın özel halinden doğrudan  $m^2 - 1 = (1-a)1 \Rightarrow m^2 = 2 - a$.

$\triangle ACD$ de Stewart'tan elde edilen $\dfrac {2a + x^2(1-a)}{1-a + a} - a(1-a) = 1$ denkleminde $x=1-a^2$ yazarsak $2a + (1-a^2)^2(1-a) = 1 + a(1-a)$ elde ederiz. Sadeleştirdiğimizde $-a^5 + a^4 + 2a^3 - a^2 = 0 \Rightarrow -a^3 + a^2 + 2a - 1 = 0$ elde ederiz.

$-a^3 + 2a^2 - a^2 +2a -1 = 0 \Rightarrow a^2(2-a) = (1-a)^2 \Rightarrow 2-a = \dfrac {(1-a)^2}{a^2}$. Buradan da $m = \dfrac{1-a}{a}$ elde edilir. Son durumda $\triangle ABD$ de $BE$ bir iç açıortaydır. $\angle ABE = \angle EBC = \angle ECB = \alpha $ dersek $\angle ABD = \angle BAD = 2\alpha$ ve $\angle BDE = \angle BED = 3\alpha$ olacaktır. $\triangle BED$ de iç açıların toplamından $\alpha +3\alpha + 3\alpha = 180^\circ \Rightarrow \alpha = \dfrac{180^\circ}{7} = \dfrac{\pi}{7}$ olur. $\blacksquare$


Not: Bu soru ayrıca aşağıdaki soruyu doğuruyor:

$A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7$ düzgün yedigen olmak üzere; $A_1A_7$ ile $A_3A_6$ $X$ noktasında, $A_1A_3$ ile $A_6A_7$ $Y$ noktasında kesişsin. $\dfrac {XY}{A_3A_7} = \sqrt 2$ olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Giriş kısmıda yukarıda olduğu gibi Stewart teoremi kullanarak bir çözüm bulmuştum. Aynı notasyonları kullanarak devam edelim.



Çözüm 2 (Lokman Gökçe):

$a^3-a^2-2a+1=0$ ve $x=1-a^2$ eşitliklerine sahibiz. Buna göre $x=1-a^2=2a-a^3$ yazılırsa $\dfrac{x}{a}=2-a^2$ olur. $2-a^2=x+1=\dfrac{x+1}{1}$ olarak yazılırsa
$$ \dfrac{x}{a}= \dfrac{x+1}{1} \tag{1}$$
olur. Öte taraftan $FB \parallel ED$ çizilirse $FBC \sim EDC$ (açı-açı-açı benzerliği) olur. Buradan
$$ \dfrac{x}{a}= \dfrac{x+1}{|FB|} \tag{2}$$
bulunur. $(1)$ ve $(2)$ eşitliklerinden $|FB|=1$ dir. $m(\widehat{BFE})=m(\widehat{BEF})=2\alpha $ ve $m(\widehat{FBC})=90^\circ + \dfrac{\alpha}2$ olup $FBC$ üçgeninde iç açılar toplamından $2\alpha + \alpha + 90^\circ + \dfrac{\alpha}2 = 180^\circ$ yazılır. Buradan $\alpha=\dfrac{180^\circ}{7}=\dfrac{\pi}7$ elde edilir.



Not: $\dfrac{\pi}7$ açı ölçüsüne sahip bir başka problem de Darij Grinberg'in sayfasında pdf olarak mevcuttur. Fakat ondan önce de 2003'te aynı problem burada sorulup çözülmüş. (O problemin de daha eski bir geçmişi olabilir.) İlgilenenler için bağlantıları sunmuş olalım.

[utku_2178]

Not: $\dfrac{\pi}7$ açı ölçüsüne sahip bir başka problem de Darij Grinberg'in sayfasında pdf olarak mevcuttur. Fakat ondan önce de 2003'te aynı problem burada sorulup çözülmüş. (O problemin de daha eski bir geçmişi olabilir.) İlgilenenler için bağlantıları sunmuş olalım.

Linkte verdiğiniz problem Zihin-15 ismi ile de biliniyor. Matematik Dünyasının eski bir sayısında Mustafa Yağcı tarafından çözülmüştü.