İkizkenar üçgen içerisinde P noktası 2

[utku_2178]

$ABC$ ikizkenar ($|AB| = |AC|$) üçgeninin iç bölgesinde $|AP|=|BP|$ ve $m(\widehat{ACP}) = 30^\circ$ olacak şekilde alınan bir $P$ noktası için $$ \dfrac{1}{|AP|} = \dfrac{1}{|PC|} + \dfrac{1}{|BC|}$$ olduğuna göre $m(\widehat{BAC})$ kaç derecedir?



Hazırlayan: Utku Cem KARABULUT

[Lokman Gökçe]

Çözüm (L. Gökçe):

$\dfrac{1}{|AP|} = \dfrac{1}{|PC|} + \dfrac{1}{|BC|} \tag{1}$
denklemi veriliyor. $APC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $m(\widehat{AOP})=2\cdot m(\widehat{ACP})=60^\circ $ olduğundan $AOP$ üçgeni eşkenardır. Ayrıca yarıçap eşitliğinden $|CO|=|OA|=|OP|=|AP|=|PB|$ yazılabilir. Böylece $APB \cong AOC $ olur. $m(\widehat{ABP})=m(\widehat{BAP}) = m(\widehat{OAC})=m(\widehat{OCA})=y$ diyelim. $BCOP$ üçüzkenar yamuğunda $m(\widehat{PCB})=m(\widehat{OPC}) = m(\widehat{OCP})=x$ dersek $m(\widehat{PBC})=2x$ olur. $x+y=30^\circ $ olduğunu görmek kolaydır.

Şimdi $APC$ ve $BPC$ üçgenlerinde sinüs teoremini uygularsak
$|AP|=\dfrac{|PC|}{2\sin(60^\circ  +y)}=\dfrac{|PC|}{2\sin(90^\circ - x)} \tag{2}$
$|BC|=\dfrac{|PC|\sin(3x)}{\sin(2x)} \tag{3}$
olur. $(2)$ ve $(3)$ eşitliklerini $(1)$ bağıntısında yazarsak
 $\quad \quad 2\sin(90^\circ - x) = 1 + \dfrac{\sin(2x)}{\sin(3x)}$
$\implies 2\sin(3x) \cos(x) = \sin(3x) + \sin(2x)$
$\implies \sin(4x) + \sin(2x) = \sin(3x) + \sin(2x)$ (Burada $2\sin a \cos b = \sin(a+b) + \sin(a-b)$ dönüşüm formülü kullanıldı.)
$\implies \sin(4x) = \sin(3x) $
olup $0^\circ < x < 30^\circ $ aralığındaki tek çözüm $x=\dfrac{180^\circ}{7}=\dfrac{\pi}{7}$ dir. Buna göre $m(\widehat{BAC})=\dfrac{8\pi}{21}$ dir.

[utku_2178]

Çözüm: Utku Cem KARABULUT

[geo]

Lokman Bey'in çizimini kullanarak $BP$ ile $CO$ yu $Q$ noktasında kesiştirelim.
$BCOP$ ikizkenar yamuk olacaktır. İşlem kolaylığı açısından $BQ=m$, $BP=PO=OC=1$, $CP=BO=x$, $BC=y$ diyelim. Sorudaki eşitlikten $x+y=xy$ olduğunu biliyoruz. $x = y/(y-1)$ olacaktır.
Paralellikten $\dfrac{m-1}{m} = \dfrac{1}{y} \Rightarrow m = y/(y-1) = x$ olacaktır. $\angle PBO = \angle POB = \angle OBC = \alpha$ dersek $\angle BQO = \angle BOQ = 3\alpha$ olacaktır. $\triangle OBQ$ da açıların toplamını yazarsak $\alpha = 180^\circ /7 = \pi / 7 \Rightarrow \angle BAC = 8\pi / 21$ elde ederiz.