Gönderen Konu: Üçgenler için genel bir teorem.  (Okunma sayısı 266 defa)

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 248
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Üçgenler için genel bir teorem.
« : Nisan 19, 2020, 03:31:30 ös »
Bir $ABC$ üçgeni veriliyor. Bu üçgenin $[ AC ]$ kenarı üzerinden  $M$ ve $N$ noktaları alınıyor. $BM$ ve $BN$ doğrularının $ABC$ üçgeninin çevrel çemberini ikinci kez kestiği noktalar sırasıyla $P$ ve $Q$ olsunlar. $AQ$ doğrusu ile $CP$ doğrularının kesiştiği nokta $R$ olmak üzere $BR$ ve $AC$ doğrularının kesiştiği nokta $X$ olsun. Buna göre 

$$\dfrac{\mid MX \mid}{\mid XN \mid}=\dfrac{\mid AM\mid}{\mid CN\mid}\cdot \left ( \dfrac{\mid BC \mid}{\mid AB\mid}\right)^2$$ eşitliğinin sağlandığını ispatlayınız. (İbrahim Atakan Çiçek)

NOT: Karşıt olarak verilen bu eşitlik sağlanıyorsa $B,X,R$ doğrusaldır.
« Son Düzenleme: Nisan 21, 2020, 12:43:22 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 248
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: Üçgenler için genel bir teorem.
« Yanıtla #1 : Nisan 19, 2020, 04:17:30 ös »
Bu üçgenin $B$ den $[AC]$ kenarına inilen dikmenin ayağı $H$ olsun. $[AH]$ ve $[CH]$ üzerinden $\dfrac{\mid AM \mid}{\mid MH \mid }=a$ ve $\dfrac{\mid CN \mid}{\mid NH \mid }=b$ olacak şekilde $[BH]$ yüksekliğini çizelim.

$\mid MH\mid=m$ , $\mid NH \mid=n$  ve $\mid BH \mid=h$ olsunlar.

$\mid AM \mid =a.m$  ve $\mid CN \mid = b.n $ bulunur.

Pisagor teoremlerinden

$(\mid AB \mid)^2=(a+1)^2m^2+h^2$

$(\mid BC \mid )^2=(b+1)^2n^2+h^2$  elde edilir.

$m(\widehat{BAC})=A$ , $m(\widehat{ACB})=B$ , $m(\widehat{ABM})=\alpha$ , $m(\widehat{NBC})=\beta$ , $m(\widehat{NBX})=x$ ve $m(\widehat{MBX})=y$ olsun.

$ABC$ üçgeninde sinüs teoremi yazılırsa

$\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AB}{\sin C}$ buradan $\dfrac{\sin A}{\sin C }=\sqrt{\dfrac{(b+1)^2n^2+h^2}{(a+1)^2m^2+h^2}}$ $(1)$ eşitliği elde edilir.

$ABM$ üçgeninde sinüs teoreminden $\dfrac{a.m}{\sin \alpha}=\dfrac{\sqrt{m^2+h^2}}{\sin A}$ buradan $\sin \alpha=\dfrac{m.a.\sin A}{\sqrt{m^2+h^2}}$ $(2)$

$NBC$ üçgeninde sinüs teoreminden $\sin \beta=\dfrac{b.n.\sin C }{\sqrt{n^2+h^2}}$ olur.$(3)$

$BPQ$ üçgeninde $R$ noktasına göre trigonometrik ceva teoremi yazılırsa

$\dfrac{\sin x}{\sin y} .\dfrac{\sin A }{\sin \beta}. \dfrac{\sin \alpha}{\sin C}=1$

$$\dfrac{\sin x}{\sin y}=\dfrac{\sin \beta}{\sin \alpha}.\dfrac{\sin C}{\sin A}$$ $(4)$ elde edilir.

$BMX$ üçgeninde sinüs teoreminden

$\dfrac{MX}{\sin y}=\dfrac{BX}{\sin (A+\alpha)}$

$BNX$ üçgeninde sinüs teoreminden

$\dfrac{NX}{\sin y}=\dfrac{BX}{\sin (C+\beta)}$ elde edilir ve bu son iki eşitlikten

$$\dfrac{MX}{NX}= \dfrac{\sin (C+\beta)}{\sin (A+\alpha)}.\dfrac{\sin y}{\sin x}$$ $(5)$ elde edilir.

$ABM$ üçgeninde tekrar sinüs teoremi yaparsak

$\dfrac{\sqrt{m^2+h^2}}{\sin A}=\dfrac{\sqrt{(a+1)^2m^2+h^2}}{\sin (180-A-\alpha)}$ yani $\sin (A+\alpha)=\dfrac{\sqrt{(a+1)^2m^2+h^2}.\sin A}{\sqrt{m^2+h^2}}$

$BNC$ üçgeninde sinüs teoremi yaparsak

$\sin (\beta +C)=\dfrac{\sqrt{(b+1)^2n^2+h^2}.\sin B}{\sqrt{n^2+h^2}}$

Bu iki eşitliği taraf tarafa oranladığımızda $$\dfrac{\sin (\beta + C)}{\sin (\alpha+A)}=\dfrac{\sqrt{(b+1)^2n^2+h^2}}{\sqrt{(a+1)^2m^2+h^2}}.\dfrac{\sin C}{\sin A}.\sqrt{\dfrac{m^2+h^2}{n^2+h^2}}$$ $(1)$ yardımıyla

$$\dfrac{\sin (\beta + C)}{\sin (\alpha+A)}=\sqrt{\dfrac{m^2+h^2}{n^2+h^2}}$$ $(6)$ eşitliği bulunur.

Şimdi ise $(4)$ ü düzenleyelim. $$\dfrac{\sin y}{\sin x}=\dfrac{\dfrac{m.a.\sin^2 A}{\sqrt{m^2+h^2}}}{\dfrac{n.b.\sin^2 C}{\sqrt{n^2+h^2}}}$$  Elde ettiğimiz  bu eşitlik ile $6$ eşitliğini $5$ te yerine koyalım.

$$\dfrac{MX}{NX}=\sqrt{\dfrac{m^2+h^2}{n^2+h^2}}.\sqrt{\dfrac{n^2+h^2}{m^2+h^2}}.\dfrac{m.a}{n.b}.(\dfrac{\sin A}{\sin C})^2$$ elde edilir.

Sadeleştirmeler yapılırsa ve $\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sin A}{\sin C}$ , $\mid AM \mid =a.m$  ve $\mid CN \mid =b.n$ olduğu kullanılırsa istenen elde edilmiş olur.

NOT: Karşıt olarak verilen bu eşitlik sağlanıyorsa $B,X,R$ doğrusaldır. (Sağ taraftaki değerler sabit olduğu için $\dfrac{MX}{XN}$ oranı sabit olmaktadır.Bu nedenle  $MN$ tek bir şekilde bu oranla parçalanır bu da formül gereği $B,X,R$ nin doğrusal olduğu orandır.)
« Son Düzenleme: Nisan 21, 2020, 12:44:27 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 352
  • Karma: +8/-0
Ynt: Üçgenler için genel bir teorem.
« Yanıtla #2 : Nisan 20, 2020, 07:22:44 öö »
Sorunun ifadesinde $a$ ve $b$ değerlerine gerek var mı?
"... doğru parçaları üzerinde sırasıyla $M$ ve $N$ noktaları alınıyor" demek yeterli olur muydu?
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 248
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: Üçgenler için genel bir teorem.
« Yanıtla #3 : Nisan 20, 2020, 08:39:39 öö »
Evet yeterli oluyor ben ilk olarak orta noktadan yola çıkmış olduğum için o şekilde bırakmıştım. Şimdi düzelttim.
« Son Düzenleme: Nisan 20, 2020, 10:32:25 öö Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1760
  • Karma: +8/-0
Ynt: Üçgenler için genel bir teorem.
« Yanıtla #4 : Nisan 22, 2020, 12:13:02 öö »
Sorunun çözümü için $H$ noktasını almaya gerek yok.
$\triangle ABM$, $\triangle BMX$ de Sinüs teoremi kullanarak $AM$ ve $MX$ i $BM$ cinsinden; $\triangle BXN$, $\triangle BNC$ de $XN$, $CN$ yi $BN$ cinsinden yazıp oranladığımız sonucu $\triangle BPQ$ deki trigonometrik Ceva bağıntısı ile birleştirdiğimizde doğrudan sonuca ulaşırız.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal