Gönderen Konu: Üçgen içerisinde P noktası, Model 11.6  (Okunma sayısı 179 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1760
  • Karma: +8/-0
Üçgen içerisinde P noktası, Model 11.6
« : Nisan 16, 2020, 08:32:23 ös »
$ABC$ üçgeni içerisinde $\angle ABP = 27^\circ$, $\angle PBC = 57^\circ$, $\angle BCP = 39^\circ$, $\angle PCA = 15^\circ$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $\angle BAP = 24^\circ$ olduğunu gösteriniz.

bkz. Model Üçgen
Çizim: https://output.jsbin.com/fofecum#27,57,39,15
« Son Düzenleme: Nisan 24, 2020, 06:09:29 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1760
  • Karma: +8/-0
Ynt: Model Üçgen 11.6
« Yanıtla #1 : Nisan 16, 2020, 08:33:25 ös »
Model 11  Çözüm :  (Behzat Erbıçakçı-İbrahim Atakan Çiçek) ($24-18$ bilinmeyenleri için yapıldı.) (https://output.jsbin.com/fofecum#27,57,39,15)

İlk önce $\mid AC \mid $ kenarı kenarlarından biri olan ve $ABC$  üçgenini kapsayan $WAC$ eşkanar üçgenini çizelim.

$m(\widehat{BWC})$ açısını hesaplamaya çalışalım.
(Burada aslında Model Üçgen 8'in çözümü yapılıyor.)
Bunun için öncelikle $W$  noktasından $AC$ ye dik çizelim.  $AC$ yi kesen noktaya $H$  , $AB$  yi kesen noktaya $F$ diyelim.

$WFA$ ile  $WFC$ üçgenleri eş olduğundan dolayı $FAC$ ikizkenardır.  Açıları yerleştirelim.  Şimdi ise $F$ den $BC$  ye dik inelim. Bu

nokta $G$ olsun. $FWC$ üçgenini katlayalım. ve dışarıdaki noktaya $Q$ adı verelim.  $FQC$ $(72-72-36)$ üçgeni olduğunu gördük ve

$WFCQ$ nun deltoid olduğuna dikkat edersek $WFQ$ nun eşkenar üçgen olduğunu anlarız.  $Q$ ile $B$ noktalarını birleştirelim.  Şimdi

ise $FBC$ üçgeninin $(12-84-84)$ üçgeni olduğuna dikkat edersek $\mid FC\mid=\mid BC\mid=\mid QC\mid$ olacağından dolayı $FBQ$

üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $C$ noktasıdır. Buradan ise $m(\widehat{BQF})=6^{\circ}$. Artık Buradan sonra $WFQ$  eşkenar

üçgenine odaklanalım. $m(\widehat{BFQ})=12^{\circ}$ açısının açıortayını çizelim. $BQ$ yu kestiği noktaya $M$ diyelim.  $

m(\widehat{MWQ})=30^{\circ}$  olmalıdır. çünkü $WFM$ ile $WQM$ üçgenleri eştirler. Daha sonra $FBQ$ üçgenini katlayalım.

Katlanan noktaya  $F'$  noktası adını verelim.  $FF'Q$ üçgeninin $(84-84-12)$ üçgeni olduğu görülebilir. Aynı zamanda $\mid

FQ\mid=\mid F'Q\mid =\mid WQ\mid$ olduğundan dolayı  $FF'W$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $Q$ noktasıdır. Dolayısıyla

$$\dfrac{m(\widehat{FF'Q})}{2}=m(\widehat{F'WF})=6^{\circ}$$ olmalıdır.


$$2m(\widehat{FF'W})+m(\widehat{WQF})=360^{\circ}$$ olduğu için $m(\widehat{QF'W})=66^{\circ}$ olur.  Şimdi ise $WM$ ile

$F'Q$ doğrularının kesiştiği noktaya $Z$ diyelim. $[FM$ ışını Trigonometrik Ceva Teoremi'nin karşıtı gereği  $F$,$B$ , $Z$ doğrusaldır.


$m(\widehat{F'ZF})=24^{\circ}$ olduğu görülür. Aynı zamanda $m(\widehat{ZWF})=24^{\circ}$ olduğundan dolayı  $F'$ ,$W$ ,$Z$

ve $B$ çemberseldir. O halde $$m(\widehat{F'WB})=m(\widehat{F'MB})=24$$ olduğundan dolayı  $m(\widehat{FWB})=18^{\circ}$

olarak bulunur. Buradan uzun zamandır uğraştığımız $m(\widehat{BWC})=12^{\circ}$ olarak bulunur.


Şimdi ise $PBC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezini $O$ noktası olarak alalım. $BOC$ üçgenini katlayıp yeni üçgeni $BCO'$ şeklinde

yazarsak ve açıları yazarsak $BWO'$ üçgeni $(156-12-12)$ üçgeni olduğundan $\mid OB\mid =\mid BW \mid$ olduğu bulunur. Açıları

yerleştirirsek $WBO$ üçgeni $(6-168-6)$  üçgeni olur.  Şimdi ise biraz eşlik görerek sorumuza yaptığımız çözümü bitirelim. $WBC$

üçgeni ile $COW$ üçgenleri eştir. $\mid OW\mid = \mid BC \mid $ görülebilir.  $AWO$ ile $ACB$ $(K-A-K)$ gereğince eş olduklarından

dolayı  $\mid AB \mid =\mid AO \mid$ buradan ise $ABO$ ikizkenar üçgenine odaklanırsak $a=24$ olarak bulunur.







« Son Düzenleme: Nisan 24, 2020, 06:10:40 ös Gönderen: geo »

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal