İSBO 2019 Geometri Soru 5

[Erdal1122]

$m(\widehat{A})=50^\circ$ ve $m(\widehat{C})=70^\circ$ şartlarını sağlayan bir $ABC$ üçgeninde diklik merkezi $H$, iç teğet çemberin merkezi $I$ ve çevrel çemberin merkezi $O$ olsun. $m(\widehat{HIO})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 150^\circ  \qquad\textbf{b)}\ 170^\circ \qquad \textbf{c)}\ 180^\circ \qquad \textbf{d)}\ 140^\circ  \qquad\textbf{e)}\ 160^\circ$

(İSBO 2019)

[Squidward]

Cevap: $\boxed{\text{B}}$

$A$, $B$ ve $C$ köşelerinden karşı kenara inilen dikme ayakları sırasıyla $H_A$, $H_B$ ve $H_C$, açıortayların çevrel çemberi kestiği noktalar aynı şekilde $K_A$, $K_B$ ve $K_C$ olsun.


İddia 1: $\triangle{CIA}$'nın çevrel çemberinin merkezi $K_B$'dir.
Kanıt: $B$, $I$, $K_B$ noktalarının doğrusal olduğu açıktır ve $\angle{CBK_B} = \angle{K_BBA}$ olduğundan $CK_B$ yayı $K_BA$ yayına eşittir yani $K_B$, $AC$ yayını ortalar, $K_BC = K_BI$ olduğunu gösterirsek $K_BC = K_BA$ olduğundan iddia kanıtlanır. Aynı yayı gördüklerinden $\angle{ACK_B} = K_BBC = 30^\circ$, $\angle{ICA} = \angle{ACB}/2 = 35^\circ$, $\angle{ICK_B} = \angle{ACK_B} + \angle{ICA} = 65^\circ$'dir. Aynı zamanda, $\angle{K_BIC} = \angle{IBC} + \angle{ICB} = 30^\circ + 35^\circ = 65^\circ$ olduğundan $\triangle{K_BIC}$ ikizkenardır, kanıt biter.


İddia 2: $C$, $H$, $I$, $O$, $A$ aynı çember üzerindedir.
Kanıt: $\angle{HH_AB} + \angle{HH_CB} = 180 ^\circ$ olduğundan $HH_ABH_C$ bir kirişler dörtgenidir, $\angle{H_ABH_C} = 60^\circ$ olduğundan $ \angle{H_AHH_C} = \angle{CHA} =120^\circ$'dir. $\angle{AIC} = 90^\circ + \frac{\angle{CBA}}{2} = 120^\circ$ ve $\angle{AOC} = 2 \cdot \angle{ABC} = 120^\circ$'dir. $H$ ve $O$, $\triangle{AIC}$'nin çevrel çemberi üzerindedir, kanıt biter.

$\angle{IAH} = \angle{IAC} - \angle{H_AAC} = 5^\circ$'dir. Aynı yayı gördüklerinden $\angle{IK_BH} = 2\cdot \angle{IAH} = 10^\circ$ ve $\angle{ICO} = \angle{ICA} - \angle{OCA} = 5^\circ$'dir. Aynı yayı gördüklerinden $\angle{IK_BO} = 2\cdot \angle{ICO} = 10^\circ$'dir. $HIOK_B$ dörtgeninde $H$, $I$, $O$; $K_B$ merkezli çember üzerinde olduklarından $2 \cdot \angle{HIO} + \angle{HK_BO} = 2\cdot\angle{HIO} + 20 =360^\circ$ olduğundan $\angle{HIO} = 170^\circ$'dir

[geo]

$AC$ nin orta noktası $M$ olsun. Diklik merkezi ve çevrel merkez ile ilgili çok bilinen $BH = 2 \cdot OM$ kuralını uygulayacağız.
$\angle MOA =60^\circ$ olduğu için $\dfrac{BH}{2} = OM = \dfrac {OA}{2} \Rightarrow BH = OA = BO$ olacaktır.
$HBO$ ikizkenar üçgeninde $\angle HBI = \angle IBO = 10^\circ$ olduğu için $HI = IO$.
$AH > BH = OA$ ve $\angle HAI = \angle IAO = 5^\circ$ olduğu için $HIOA$ dörtgeni bir kirişler dörtgenidir. Bu durumda $\angle HIO = 180^\circ - \angle HAO = 170^\circ$ olur.

[geo]

Basit açı hesaplarıyla $\angle HBI = \angle IBO = 10^\circ$, $\angle OBA = \angle BAO = 20^\circ$, $\angle OAI = \angle IAH =5^\circ$ elde edilir.
$\triangle BHA$ ve $\triangle IBA$ da $O$ noktası için trigonometrik Ceva uygulamak bizi çözüme götürecektir.
 
$\triangle BHA$ da $O$ noktası Model 4.1 e uymaktadır. Bu durumda $\angle OHA = 30^\circ$ dir. (https://output.jsbin.com/qamehin/1#20,20,20,10)
$\triangle IBA$ da $O$ noktası Model 2.1 e uymaktadır. Bu durumda $\angle OIA = 30^\circ$ dir. (https://output.jsbin.com/qamehin/1#10,20,20,5)

$\angle OHA = \angle OIA$ olduğu için $IOAH$ bir kirişler dörtgeni dolasıyla da $\angle HIO = 180^\circ - \angle OAH = 170^\circ$ dir.

Not:
$\triangle HBA$ da $I$ noktası Model 1.1 e uymaktadır. (https://output.jsbin.com/qamehin/1#10,30,25,5)
Yukarıdakilerden biri ve bu üçgenle de çözüme gidilebilir.