Tübitak Lise Takım Seçme 2020 Soru 7

[Eray]

Bir çember üzerinde $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2}$ noktaları $A_{1} A_{2}\parallel B_{1} B_{2}\parallel C_{1} C_{2}$ olacak şekilde veriliyor. Aynı çember üzerindeki bir $M$ noktası için $M A_{1}$ ile $B_{2} C_{2}$ nin kesişimi $X$, $M B_{1}$ ile $A_{2} C_{2}$ nin kesişimi $Y$, $M C_{1}$ ile $A_{2} B_{2}$ nin kesişimi $Z$ olsun. $X, Y, Z$ nin doğrusal olduğunu gösteriniz.

(Melih Üçer)

[geo]

Çizim

[YavuzSelim]

$A_{1}MB_{1}B_{2}C_{2}A_{2}$ noktalarında Pascal teoremini uygularsak, $XY\parallel A_1A_2$ olur. $A_{1}MC_{1}C_{2}B_{2}A_{2}$ noktalarında Pascal teoremini uygularsak, $XZ\parallel A_1A_2$ olur.  $XY\parallel XZ$ bulunur. Yani $X, Y, Z$ noktaları doğrusaldır.

[Lokman Gökçe]

Basit bir çözüm buldum. Paylaşayım.


Çözüm [Lokman Gökçe]: Açı takibi ile $\angle XMY = \angle A_1MB_1 = \angle A_2C_2B_2 = \angle XC_2Y $ olup $XYC_2M$ bir kirişler dörtgenidir. Ayrıca $A_1A_2C_2M$ bir kirişler dörtgeni olduğundan $\angle MA_1A_2 = \angle MC_2Y = 180^\circ - \angle MXY$ olup $A_1A_2 \parallel XY$ elde edilir.

Benzer biçimde $XZB_2M$'nin de bir kirişler dörtgeni olduğunu gösterebiliriz. $\angle XMZ = \angle C_1MA_1 = \angle A_2MA_2 = \angle XB_2Z $ olur. Ayrıca $A_1A_2B_2M$ bir kirişler dörtgeni olduğundan $\angle MA_1A_2 = \angle MB_2Z = 180^\circ - \angle MXZ$ olup $A_1A_2 \parallel XZ$ elde edilir.

$XY \parallel XZ$ olduğundan $X, Y, Z$ noktaları doğrusaldır.