Eğer $a$ ve $b$'den birisi çift ise $ab+4$ çift olacağından $a$ ve $b$'nin ikisi birden çift olması gerekir. Dolayısıyla ya ikisi birden tektir ya da ikisi birden çifttir.
$p=3k+2$ formatında tek bir asal sayı olsun. $a^3+b^3\equiv 0 \pmod p$ ise $$a^3+b^3\equiv (a+b)(a^2-ab+b^2) \equiv 0 \pmod p$$ Eğer $a^2-ab+b^2\equiv 0 \pmod p$ ise $$(2a-b)^2\equiv -3b^2 \pmod p \Rightarrow \left ( \dfrac{2a-b}{b} \right )^2 \equiv -3 \pmod p$$ olur, yani $-3$, $p$ modunda karekalandır. $\left ( \dfrac{a}{p} \right )$ lagrange sembolü olmak üzere, $$\left ( \dfrac{3}{p} \right ) \cdot \left ( \dfrac{p}{3} \right )=(-1)^{\frac{3-1}{2}\cdot \frac{p-1}{2}}=\left ( \dfrac{-1}{p} \right )\Rightarrow \left ( \dfrac{-3}{p} \right )=\left ( \dfrac{3}{p} \right )\left ( \dfrac{-1}{p} \right )=\left ( \dfrac{p}{3} \right )\left ( \dfrac{3}{p} \right )^2=\left ( \dfrac{p}{3} \right )$$ fakat $p$, $3k+2$ formunda olduğundan $$\left ( \dfrac{-3}{p} \right )=\left ( \dfrac{p}{3} \right )=-1$$ bulunur. Dolayısıyla $a^3+b^3\equiv 0 \pmod p$ ise $a^3+b^3\equiv a+b\equiv 0 \pmod p$ olmalıdır.
$i)$ $a$ ve $b$ tek ise
Her tek $a$ sayısı için $a^3-a\equiv 0 \pmod 4$ olduğundan $a^3+b^3\equiv a+b\pmod 4$ olmalıdır. $2020=4\cdot 5\cdot 101$ olduğundan $$a^3+b^3\equiv a+b\equiv 0 \pmod {2020}$$ olmalıdır. $$(a+b)\cdot \dfrac{a^2-ab+b^2}{ab+4}=2020$$ olduğundan,
Eğer $a^2-ab+b^2\geq ab+4$ ise $a+b=2020$ ve $a^2-ab+b^2=ab+4$ olmalıdır. Buradan $a-b=2$ veya $a-b=-2$ elde ederiz. Buradan $(a,b)=(1009,1011), (1011,1009)$ çözümleri bulunur.
Eğer $a^2-ab+b^2<ab+4$ ise $(a-b)^2=0$ veya $(a-b)^2=1$ olur. Eğer $(a-b)^2=1$ ise $a$ ve $b$'nin biri tek diğeri çift olur fakat toplamları $4$'e bölünemez. Çelişki. Eğer $(a-b)^2=0$ ise ana denklemde $a=b$ yazarsak $a^3=1010(a^2+4)$ olur fakat buradan tamsayı çözüm gelmez.
$ii)$ Eğer $a$ ve $b$ çiftse $a=2m$ ve $b=2n$ diyelim. Denklem $$\dfrac{m^3+n^3}{mn+1}=1010$$ olur. $m^3+n^3\equiv m+n \pmod 2$ olduğundan $m^3+n^3\equiv m+n\equiv 0 \pmod {1010}$ olur. Eğer $m^2+n^2-mn>mn+1$ ise $m+n\geq 1010$ olduğundan $$(m+n)\cdot \dfrac{m^2+n^2-mn}{mn+1}>1010$$ olur. Dolayısıyla $$m^2+n^2-mn\leq mn+1 \Rightarrow (m-n)^2\leq 1$$ olmalıdır. Eğer $(m-n)^2=0$ ise $m=n$ olur ve yerine yazarsak $m^3=505(m^2+1)$ olur fakat çözüm gelmez. $(m-n)^2=1$ ise $m+n$ çift olduğundan ($1010$'a bölündüğünden) $m$ ve $n$ tamsayı olamaz. Buradan çözüm gelmez.
Tüm çözümler $(a,b)=(1011,1009),(1009,1011)$ bulunur.
