$(\sqrt{61}+1)^{61}-(\sqrt{61}-1)^{61}$ sayısının birler basamağı {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Soru: $(\sqrt{61}+1)^{61}-(\sqrt{61}-1)^{61}$ sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?


Kaynak: matkafası

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{2}$

Çözüm: $n\geq 1$ pozitif tam sayıları için $a_n=(1+\sqrt{61})^n + (1-\sqrt{61})^n $ kuralı ile tanımlı $(a_n)$ dizisini göz önüne alırsak bizden $a_{61}$ teriminin $10$ ile bölümünden kalan sorulmaktadır.
$r_1=1+\sqrt{61}$ ve $r_2=1-\sqrt{61}$ sayılarını kök kabul eden ikinci dereceden denklem $r^2-2r-60=0$ olduğundan doğrusal indirgemeli dizi teorisine göre $a_n=(1+\sqrt{61})^n + (1-\sqrt{61})^n $ dizisini
$$a_{n+2}=2a_{n+1}+60a_n \tag{1}$$
biçiminde yazabiliriz. Burada $a_1=2$, $a_2=124$ tür. Buna göre $(1)$ denklemini $\mod 10$ içinde incelersek $n\geq 1$ için
$$ a_{n+2}\equiv 2a_{n+1} \pmod{10} \tag{2}$$
olur. $(2)$ yardımıyla $(a_n)$ dizininin $\mod{10}$ içindeki değerlerini veren diziyi yazabiliriz ve
$$ (2,4,8,6,2,4,8,6,\dots ) \tag{3}$$
biçiminde periyodu $4$ olan bir dizi elde ederiz. Buna göre $a_{61}\equiv a_1 \equiv 2 \pmod{10}$ olur.