Gönderen Konu: Deney Tüpüne (Erlenmayere) Sabit Hızla Akan Su {çözüldü}  (Okunma sayısı 82 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2916
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Taban yarıçapı $R_0$, tavan yarıçapı $r$ ($0<r_0<R_0$) ve yüksekliği $h_0$ olan kesik koni biçimli cismin üst kısmına $r$ yarıçaplı silindir boru eklenerek resimdeki bir deney tüpü (erlenmayer) oluşturulmuştur. Bu deney tüpü boş iken, birim zamanda sabit miktarda su akıtan bir musluk açılarak deney tüpü doldurulmaya başlanıyor. Deney tüpündeki suyun yüksekliğinin zamana başlı değişimini gösteren grafiği çizdiğimizi düşünelim.

Suyun yüksekliğinin $h_0$ olduğu anda yükseklik-zaman grafiğinin temsil ettiği fonksiyonun türevi olabilir mi? Türev var olacak biçimde $R_0,r_0,h_0$ sabit değerleri (varsa) bu türevi bulunuz.


« Son Düzenleme: Şubat 10, 2020, 04:03:32 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2916
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: Deney Tüpüne (Erlenmayere) Sabit Hızla Akan Su
« Yanıtla #1 : Şubat 10, 2020, 04:03:06 öö »
Kesik koniyi uzatarak tepe noktasına $O$ diyelim. $O$ noktasının $r_0$ yarıçaplı çemberin merkezine olan uzaklığı $l_0$ olsun. Benzer üçgenlerden $$\dfrac{l_0}{r_0}=\dfrac{l_0+h_0}{R_0} \tag{1}$$ eşitliği vardır. $R_0,r_0,h_0$ birer sabit olduğundan $l_0$ da bir sabittir. Bir $t$ anında deney tüpündeki suyun hacmi $V$, üst yarıçap $r$, suyun yüksekliği $h$, $O$ noktasının $r$ yarıçaplı çemberin merkezine olan uzaklığı $l$ olsun. $$h+l = h_0 + l_0 \tag{2}$$ dır. Yine benzerlikten $$\dfrac{l}{r}=\dfrac{l+h}{R_0} \tag{3}$$ olup $ l = \dfrac{(l_0+h_0)r}{R_0} \tag{4}$ elde edilir. Su sabit hızla aktığı için suyun hacmindeki anlık değişim $$\dfrac{dV}{dt}=C_1 \tag{5}$$ biçiminde bir sabittir.

Ayrıca $t=t_0$ anında üst yarıçap $r_0$ ve suyun hacmi $V_0$ ise $V_0$ bir sabittir. Yine yüksekliği $h_0+l_0$ ve taban yarıçapı $R_0$ olan tüm koninin hacmi olan $V_1$ de bu değerler türünden bir sabittir.


Şimdi $h\leq h_0$ iken suyun hacmine bakalım: $V=V_1 - \dfrac{\pi}{3}r^2 l $ dir. $(4)$ ten dolayı $$V=V_1 - \dfrac{\pi}{3}r^3\dfrac{(h_0+l_0)}{R_0} \tag{6} $$ elde edilir.

Böylece $ \dfrac{dV}{dr}=  -\dfrac{\pi r^2(h_0+l_0)}{R_0}$ olup $$ \dfrac{dr}{dV}= -\dfrac{R_0}{\pi r^2 (h_0+l_0)} \tag{7}$$ elde edilir. $,l,r,h$ arasındaki bağıntılardan $h=\dfrac{(h_0+l_0)}{R_0}(R_0-r)$ olup $$ \dfrac{dh}{dr}=-\dfrac{(h_0+l_0)}{R_0}\tag{8}$$ bulunur. Şimdi zincir kuralından $\dfrac{dh}{dt}=\dfrac{dh}{dr}\dfrac{dr}{dV}\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{(h_0+l_0)}{R_0}\cdot \dfrac{R_0}{\pi r^2 (h_0+l_0)}\cdot C_1$ olup $$\dfrac{dh}{dt} =\dfrac{C_1}{\pi r^2} $$ elde edilir. $t\to t_{0}^{-}$ için $r\to r_{0}^{+}$ olup bu noktada soldan türev $$ \dfrac{dh}{dt} =\dfrac{C_1}{\pi r_{0}^{2}} \tag{9}$$ bulunur.


Şimdi de $ h\geq h_0$ iken suyun hacmine bakalım. $V = V_0 + \pi r_{0}^2(h-h_0) \tag{10}$ olur. $\dfrac{dV}{dh} = \pi r_0^2$ olduğundan $$ \dfrac{dh}{dV} = \dfrac{1}{\pi r_0^2} \tag{11}$$ dir. Yine zincir kuralından $ \dfrac{dh}{dt} = \dfrac{dh}{dV} \dfrac{dV}{dt}$ olup $ \dfrac{dh}{dt} =\dfrac{C_1}{\pi r_0^2} $ elde edilir. Bu değer bir sabit olduğundan $t\to t_0^{+}$ için de sağdan türev $\dfrac{dh}{dt} =\dfrac{C_1}{\pi r_0^2} \tag{12}$ aynıdır.

$t=t_0$ noktasında sürekli olan $h=h(t)$ fonksiyonunun sol ve sağ türevleri eşit olduğundan $h'(t_0)$ daima vardır ve $$h'(t_0)=\dfrac{C_1}{\pi r_0^2} $$ değerine sahiptir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal