Gönderen Konu: Virgülden sonraki 1000. basamak {çözüldü}  (Okunma sayısı 54 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Virgülden sonraki 1000. basamak {çözüldü}
« : Mart 01, 2020, 03:46:35 ös »
$(\sqrt{2}+1)^{3000}$ sayısının ondalık yazılışında virgülden sonraki $1000.$ basamakta bulunan rakam kaçtır?

Kaynak: matkafası
« Son Düzenleme: Mart 01, 2020, 04:28:27 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Virgülden sonraki 1000. basamak
« Yanıtla #1 : Mart 01, 2020, 04:27:55 ös »
Aranan rakam $\boxed{9}$ dur.

Çözüm:

$a,b$ birer pozitif tam sayı olmak üzere $(\sqrt{2} + 1)^{3000}=a + \sqrt{2}b$ biçimindedir. Benzer fikirle $(\sqrt{2} - 1)^{3000}=a - \sqrt{2}b$ dir! Sadece $\sqrt{2}$ irrasyonel kısmının katsayısının işaret değiştirdiğini gözlemlemek yeterlidir. Dolayısıyla
$$ (\sqrt{2} + 1)^{3000} + (\sqrt{2} - 1)^{3000} =2a $$
biçiminde bir çift tam sayı olur. Öte taraftan $(\sqrt{2} - 1)^{3000} $ pozitif sayısı $0$ a çok yakındır. Bakalım işimize yarayacak kadar yakın mıymış?

Öncelikle $ \sqrt{2} < 1,45$ olduğunu her iki tarafın karesini alarak görebiliriz. Buna göre $ \sqrt{2}-1 < 0,45 $ tir. Şimdi $ (\sqrt{2}-1)^3 < \dfrac{45^3}{10^6} = \dfrac{91125}{10^6} < \dfrac{10^5}{10^6} $ olup
$$  (\sqrt{2}-1)^3 < \dfrac{1}{10}$$
buluruz. İşte bu çok iyi oldu! Soruya abanmaya devam edelim:

$(\sqrt{2}-1)^{3000} < 10^{-1000}$ ve $ (\sqrt{2} + 1)^{3000} + (\sqrt{2} - 1)^{3000} =2a $ olduğundan
$$ 2a-10^{-1000} < (\sqrt{2} + 1)^{3000} <2a $$
olup $(\sqrt{2} + 1)^{3000} $ sayısının virgülden sonraki en az $1000$ basamağının $9$ ile bittiğini anlarız.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal