Gönderen Konu: n değişkenli bir eşitsizlik {çözüldü}  (Okunma sayısı 171 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
n değişkenli bir eşitsizlik {çözüldü}
« : Aralık 31, 2019, 01:31:01 öö »
Her $i=1,2,\dots, n$ için $a_k >0$ gerçel sayıları $$\sum_{k=1}^n a_k=1$$ eşitliğini sağladığına göre $$\dfrac{a_1}{2-a_1}+\dfrac{a_2}{2-a_2}+\cdots+\dfrac{a_n}{2-a_n}\geq\dfrac{n}{2n-1}$$ olduğunu gösteriniz. Eşitlik durumunun ne zaman sağlanacağını belirleyiniz.
« Son Düzenleme: Mart 01, 2020, 07:06:51 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: n değişkenli bir eşitsizlik
« Yanıtla #1 : Aralık 31, 2019, 01:42:44 öö »
Aritmetik-harmonik ortalama eşitsizliği kullanarak bir çözüm şöyle yapılabilir:


Çözüm: Verilen eşitsizliğin sağ tarafını düzenlemek için toplamın her bir terimine $1$ ekleyelim. Elbette toplamda $n$ eklemiş olduğumuzdan, sağ tarafa da $n$ eklemeliyiz. Her $k=1,2,\dots, n$ için $$ \dfrac{a_k}{2-a_k}+1 = \dfrac{2}{2-a_k}$$ olduğundan ispatlamamız istenen eşitsizlik toplam sembolü ile

$$ 2\left(  \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2-a_k}\right) \geq \dfrac{2n^2}{2n-1}\tag{1} $$

biçimine dönüşür.(İsterseniz $2$ çarpanlarını her iki taraftan sadeleştiriniz).

Bu tür bir ifade bize aritmetik-harmonik ortalamaları çağrıştırmaktadır. O halde $2-a_k$ terimleri için bu ortalamalar arasındaki eşitsizliği uygulayalım:

$$ \dfrac{\sum_{k=1}^n(2-a_k)}{n} \geq \dfrac{n}{\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2-a_k}} \tag{2}$$

olur. $\sum_{k=1}^n(2-a_k)=2n-1$ olduğundan $(2)$ eşitsizliği bize $(1)$'i verir.

Ayrıca ortalama eşitsizliğinde eşitlik halinin geçerli olması için gerek ve yeter koşul $2-a_k$ terimlerinin eşit olmasıdır. Böylece $a_1=a_2=\cdots =a_n=\dfrac{1}{n}$ iken eşitlik sağlanır.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 262
  • Karma: +6/-0
Ynt: n değişkenli bir eşitsizlik
« Yanıtla #2 : Aralık 31, 2019, 07:39:53 ös »
Bu soru için biraz karışık bir çözüm olabilir ama şu anda adlarını hatırlayamadığım iki öğrencinin güzel bir TÜBİTAK projesinden yola çıkarak bu soruya farklı bir çözüm getirebiliriz.

$x\leq 1$ için $f(x)=\dfrac{x}{2-x}$ fonksiyonunu tanımlayalım. Şimdi de öyle bir $g(x)=ax+b$ fonksiyonu belirleyelim ki $f\left (\dfrac{1}{n}\right )=g\left (\dfrac{1}{n}\right )$ ve $f'\left (\dfrac{1}{n}\right )=g'\left (\dfrac{1}{n}\right )$ sağlasın. Eğer bunları açıp hesaplarsak, $$a=\dfrac{2n^2}{(2n-1)^2}$$ $$b=-\dfrac{1}{(2n-1)^2}$$ buluruz. Şimdi her $x\leq 1$ için $f(x)\geq g(x)$ olduğunu gösterelim. $$\dfrac{x}{2-x}\geq \dfrac{2n^2x-1}{(2n-1)^2}\Leftrightarrow (2n-1)^2x\geq (2n^2x-1)(2-x)\Leftrightarrow 2(nx-1)^2\geq 0$$ olur. Yani her $x\leq 1$ için $f(x)\geq g(x)$'dir ve eşitlik durumu $x= \dfrac{1}{n}$'dir. $x$ yerine $a_1,a_2,...,a_n$ yazıp taraf tarafa toplarsak, $$\dfrac{a_1}{2-a_1}+\dfrac{a_2}{2-a_2}+\cdots+\dfrac{a_n}{2-a_n}\geq\dfrac{n}{2n-1}$$ bulunur. Eşitlik durumu $a_1=a_2=\cdots=a_n=\dfrac{1}{n}$'dir.

Not: Fonksiyonu tanımlarken $x\leq 1$ dememizin sebebi $a_k$'ların $1$'den küçük olması ve $2-x$ ifadesini karşıya atınca eşitsizliğin yön değiştirmemesi. Dolayısıyla tanımlarken $x\leq 2$ dememizde de bir sıkıntı yok.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal