Gönderen Konu: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2019 Soru 2  (Okunma sayısı 358 defa)

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 354
  • Karma: +8/-0
Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2019 Soru 2
« : Ocak 07, 2020, 11:20:10 öö »
$x$, $y$, $z$ pozitif gerçel sayıları $xy+yz+zx=x^5+y^5+z^5$ eşitliğini sağlıyorsa$$x^2y+y^2z+z^2x\le3$$olduğunu gösteriniz.
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı berksel03

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 5
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2019 Soru 2
« Yanıtla #1 : Nisan 18, 2020, 09:46:20 ös »
$A.O  \geq G.O$ eşitsizliğinden;
$x^5+y^5+1+1+1 \geq 5xy$
$y^5+z^5+1+1+1 \geq 5yz$
$z^5+x^5+1+1+1 \geq 5xz$
Eşitsizliklerinin taraf tarafa toplanmasıyla:
$2(x^5+y^5+z^5) + 9 \geq 5(xy+xz+yz)$   $\Longrightarrow$ $ 3 \geq (xy+xz+yz)$  $(*)$
Yine $A.O \geq G.O$ eşitsizliğinden;
$x^5+x^5+y^5+1+1 \geq 5x^2y$
$y^5+y^5+z^5+1+1\geq 5y^2z$
$z^5+z^5+x^5+1+1\geq 5z^2x$
Bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplayarak:
$3(x^5+y^5+z^5)+6 \geq 5(x^2y+y^2z+z^2x)$. Daha önce elde ettiğimiz $(*)$ eşitsizliğini de kullanarak;
$9+6 \geq 3(x^5+y^5+z^5) \geq 5(x^2y+y^2z+z^2x)$

$3 \geq x^2y+y^2z+z^2x$. Eşitlik durumu $x=y=z=1$ için sağlanır.



 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal