2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 19

[Metin Can Aydemir]

Pozitif terimli $a_0,a_1,a_2,...$ dizisi, $a_0=1$ olmak üzere, aşağıdaki şekilde tanımlansın: $$a_1=\dfrac{1}{a_0+a_1}~ \text{ve her}~ k\geq 2~\text{için}~ a_k=\dfrac{1}{a_0+a_1}+\dfrac{1}{a_1+a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_{k-1}+a_k}$$ Buna göre, $\lfloor a_{99}\rfloor$ tamdeğeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 99 \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 11 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 101$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$a_{k-1}=\dfrac{1}{a_0+a_1}+\dfrac{1}{a_1+a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_{k-2}+a_{k-1}}$ yazarsak, $$a_k=a_{k-1}+\frac{1}{a_{k-1}+a_k}\implies a_k^2-a_{k-1}^2=1$$ elde edilir. $k=2,3,\dots, 99$ için yazıp toplarsak, $$a_{99}^2-a_1^2=98\implies a_{99}=\sqrt{98+a_1^2}$$ elde edilir (genel haliyle $n\geq 1$ için $a_n=\sqrt{n-1+a_1^2}$ olduğunu görebiliriz). $a_0=1$ olduğundan $$a_1=\frac{1}{a_0+a_1}\implies a_1^2+a_1-1=0\implies a_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\implies a_1^2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\implies a_{99}=\sqrt{99-\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$$ olur. $\phi-1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$ olduğundan $81<a_{99}^2<100$ olur ve $\lfloor a_{99}\rfloor=9$ elde edilir.

Sonuç olarak fonksiyonun genel formülü de $a_0=1$ ve $n\geq 1$ için $a_n=\sqrt{n+1-\phi}$ olacaktır.