2017 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11

[Metin Can Aydemir]

$x^4+x^2y^2-8x^2+6\leq 0$ eşitsizliğini sağlayan kaç $(x,y)$ tamsayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 18  \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 14$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Verilen eşitsizliği düzenlersek $x^4-8x^2+16+x^2y^2=(x^2-4)^2+(xy)^2\leq 10$ olacaktır. $10$'dan küçük veya eşit olan ve iki tamkarenin toplamı olarak yazılabilen sayılar $0,1,2,4,5,8,9,10$'dur. Daha kolay inceleme için $(x^2-4)^2+(xy)^2$ tek sayı ise $x$'in de tek sayı olması gerektiğini not alalım.

$(x^2-4)^2+(xy)^2=0$ ise $xy=0$ ve $x^2-4=0$ olacağından $(x,y)=(2,0),(-2,0)$ çözümleri bulunur.
$(x^2-4)^2+(xy)^2=1$ ise $x^2$'nin tamkare olmasından dolayı $x^2-4=0$ ve $xy=\pm 1$ olacaktır ama $x$ çift olduğundan çözüm yoktur.
$(x^2-4)^2+(xy)^2=2$ ise $x^2-4=\pm 1$ olması gerektiğinden çözüm yoktur.
$(x^2-4)^2+(xy)^2=4$ ise $x^2-4=0$ ve $xy=\pm 2$ olmalıdır. Buradan $(x,y)=(2,1),(-2,-1),(2,-1),(-2,1)$ çözümleri bulunur.
$(x^2-4)^2+(xy)^2=5$ ise $x^2-4=\pm 1$ olması gerektiğinden çözüm yoktur.
$(x^2-4)^2+(xy)^2=8$ ise $x^2-4=\pm 2$ olması gerektiğinden çözüm yoktur.
$(x^2-4)^2+(xy)^2=9$ ise $x^2-4=-3$ ve $xy=0$ olmalıdır. $(x,y)=(1,0),(-1,0)$ çözümleri bulunur.
$(x^2-4)^2+(xy)^2=10$ ise $x^2-4=-3$ ve $xy=\pm1$ olmalıdır. $(x,y)=(1,1),(-1,-1),(1,-1),(-1,1)$ çözümleri bulunur.

Toplamda $12$ tane ikili vardır.

[idensu]

Çözümde ufak bir düzeltme yapalım. son satırda (1,-1) ve (-1,1) de denklemi sağlar bu yüzden yanıt 12 olmalıdır.