Gönderen Konu: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2019 Soru 30  (Okunma sayısı 73 defa)

Çevrimdışı ERhan ERdoğan

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1408
  • Karma: +12/-0
Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2019 Soru 30
« : Aralık 15, 2019, 11:57:47 ös »
Rakamlarının yeniden sıralanması sonucu bir tam kare elde edilebilen bir pozitif tam sayıya $\textit{karesel sayı}$ diyelim.Örneğin, $7416$ sayısının rakamları yeniden sıralanarak $1764 = 42^2$ sayısı elde edilebildiğinden $7416$ bir karesel sayıdır. $2345, 3456, 5678$ ve $6731$ dört basamaklı pozitif tam sayılarından kaç tanesi karesel sayıdır?

$\textbf{a)}\ 0 \qquad\textbf{b)}\ 1 \qquad\textbf{c)}\ 2 \qquad\textbf{d)}\  3 \qquad\textbf{e)}\ 4 $
« Son Düzenleme: Ocak 19, 2020, 12:11:13 öö Gönderen: scarface »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2916
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2019 Soru 30
« Yanıtla #1 : Ocak 19, 2020, 12:09:55 öö »
Yanıt: $\boxed{B}$

Önce iyi bilinen bir lemmayı ispatlayalım.
Lemma: Herhangi bir tam sayının karesinin $3$ ile bölümünden kalan ya $0$ ya da $1$ olabilir. Kalan $2$ olamaz.

İspat: $x \in \mathbb Z$ olmak üzere $x \equiv 0, 1, 2 \pmod{3}$ durumları mümkündür. Her bir $x$ değeri için sırasıyla $x^2 \equiv 0, 1, 1 \pmod{3} $ elde edilir. $x^2 \not \equiv 2 \pmod{3}$ bulunur.

Bu lemmaya göre $2345 \equiv 2 \pmod{3}$, $5678 \equiv 2 \pmod{3}$, $6731 \equiv 2 \pmod{3}$ olduğundan bu sayılar ve bu sayıların rakamlarının yer değiştirmesiyle elde edilen sayılar tam kare olamaz.

$3456$ sayısının rakamları yeniden sıralanarak $4356=66^2$ yazılabildiğinden yalnızca $1$ tane karesel sayı bulunur.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal