Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2019 Soru 24

[ERhan ERdoğan]

Başlangıçta bir tahtada $1, 2, \ldots,1000$ sayıları yazılıdır. Aslı ve Zehra sırayla hamleler yaparak bir oyun oynuyorlar. Oyuna ilk Aslı başlıyor ve sırası gelen oyuncu tahtada bulunan sayılardan ikisini siliyor. Tahtada iki sayı kaldığında oyun bitiyor ve Aslı bu kalan iki sayının farkı kadar puan alıyor. Buna göre, Aslı en fazla kaç puan almayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 334 \qquad\textbf{b)}\ 470 \qquad\textbf{c)}\ 501 \qquad\textbf{d)}\  575 \qquad\textbf{e)}\ 601 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Aslı ilk hamlesinde $500$ ve $501$ sayılarını siler. Geriye kalan sayılar $A=\{ 1, 2, \dots, 499 \}$ ve $B=\{ 502, 503, \dots, 1000 \}$ kümelerindedir. Zehra'nın seçtiği sayılar $x,y$ olsun.

$\bullet$ $x,y \in A $ olursa; Aslı, $B$ nin en küçük iki elemanını siler.
$\bullet$ $x,y \in B $ olursa; Aslı, $A$ nın en büyük iki elemanını siler.
$\bullet$ $x \in A $, $y \in B$ olursa; Aslı, $B$ nin en küçük elemanını ve $A$ nın en büyük elemanını siler.

Bu yolla Aslı, $A$ kümesindeki sayıları olabildiğince küçük bırakır, $B$ kümesindeki elemanları da olabildiğince büyük bırakır. Böylece son kalan iki sayının biri $A$ kümesinde, diğeri $B$ kümesinde ve birbirine en uzak durumdadır.
Zehra bu farkın açılmasını engellemek istiyorsa $A$ daki en küçük eleman (örneğin $1$) ile $B$ deki en büyük elemanı (örneğin $1000$'i) silmelidir. Bu halde Aslı'nın elinde kalan son iki sayı $250$ ve $751$ olur. Aslı $751-250=501$ puan almayı garantileyebilir.