Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2019 Soru 17

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABCD$ dikdörtgeninde $|AB|=3, |BC|=2$ dir. Yarıçap uzunlukları $2$ olan $A$ merkezli $C_1$ ve $B$ merkezli $C_2$ çemberleri çiziliyor.  Hem $C_1$ çemberi hem $C_2$ çemberi  hem de $ABCD$ dikdörtgeninin içinde kalan bölgenin alanı $X$ olsun. $ABCD$ dikdörtgeninin içinde kalıp  hem $C_1$ çemberinin hem de $C_2$ çemberinin dışında kalan bölgenin alanı $Y$ olsun. Buna göre $X-Y$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \pi-2 \qquad\textbf{b)}\ \pi-3 \qquad\textbf{c)}\ 2\pi-5   \qquad\textbf{d)}\ 2\pi-6 \qquad\textbf{e)}\ 3\pi-8 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed {D}$

Çevrek dairelerin $X$ alanını içermeyen kısımlarının her birinin alanını $S$ ile gösterelim. Çeyrek dairenin alanından

$X+S = \dfrac{\pi 2^2}{4} = \pi \tag{1}$

ve dikdörtgenin alanından

$X+Y+2S = 2\cdot 3 = 6 \tag{2}$

olur. $(1)$ denklemini $2$ ile, $(2)$ denklemini $-1$ ile çarpıp taraf tarafa toplarsak $X-Y= 2\pi -6$ bulunur.