Riemann zeta fonksiyonunun $s>1$ için toplamsal ve çarpımsal gösterimlerine bakalım. $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=\prod_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1-p_k^{-s}}$$ olacaktır. Burada $p_k$, $k.$ asalı olarak tanımlanmıştır. Toplamsal tanımından dolayı $\zeta(s)\geq 1$ olacaktır. Her tarafın logaritmasını alırsak, $$\log \zeta(s)=-\sum_{k=1}^{\infty} \log (1-p_k^{-s})$$ olacaktır. Her tarafın $s$'ye göre türevini alırsak, $$-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{p_k^{-s}\log p_k}{1-p_k^{-s}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\log p_k}{p_k^s-1}$$ olacaktır.
i) Yukarıda da gösterdiğimiz gibi $$\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\ln (p_k)}{p_{k}^2-1}=-\frac{\zeta'(2)}{\zeta(2)}$$ elde edilir.
ii) $s=4$ için $$-\frac{\zeta'(4)}{\zeta(4)}=\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\ln (p_k)}{p_{k}^4-1}=\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\ln (p_k)}{(p_{k}^2-1)(p_k^2+1)}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2}\left(\dfrac{\ln (p_k)}{p_{k}^2-1}-\dfrac{\ln (p_k)}{p_{k}^2+1}\right)$$ $$\implies \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\ln (p_k)}{p_{k}^2+1}=\frac{2\zeta'(4)}{\zeta(4)}+\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\ln (p_k)}{p_{k}^2-1}=\frac{2\zeta'(4)}{\zeta(4)}-\frac{\zeta'(2)}{\zeta(2)}$$ elde edilir.
