Yanıt: $\boxed{E}$
$O^\prime $ noktasından $AO$ ya inen dikme ayağı $C$ olsun. $|CO^\prime |=2\sqrt{3}$, $ |OO^\prime| =R+r $, $|OC|=R-r$ dir. $COO^\prime $ dik üçgeninde $ (R+r)^2 = (R-r)^2 + (2\sqrt 3)^2$ olup $$Rr=3 \tag{1}$$ elde edilir.
Ayrıca dairelerin alanlar toplamından $\pi (R^2 + r^2)=10\pi $ olup $$R^2 + r^2 = 10 \tag{2}$$ bulunur.
$(1)$ ve $(2)$ denklemlerinden $(R+r)^2 = R^2 + r^2 + 2Rr = 10 + 6 = 16 $ olup $R+r = 4$ bulunur.