Gönderen Konu: 2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18  (Okunma sayısı 454 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 342
  • Karma: +7/-0
2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18
« : Eylül 22, 2019, 09:45:51 ös »
Bir $n=b^4+c^3+d^2+9$ pozitif tamsayısının, bölenleri, $$1=a<b<c<d<\cdots<n$$ şeklindedir. Bu koşulu sağlayan en küçük $n$ sayısının kaç pozitif böleni vardır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 12  \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 18$
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 342
  • Karma: +7/-0
Ynt: 2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 18
« Yanıtla #1 : Ekim 12, 2020, 08:22:21 ös »
Cevap: $\boxed{A}$

Eğer $n$ tekse, tüm bölenleri tek olması gerektiğinden $b$, $c$ ve $d$ tek olmalıdır fakat $n=b^4+c^3+d^2+9$ çift olur, bu bir çelişkidir.

Dolayısıyla $n$ çift olmalıdır. $n$ çift olduğundan $1$'den farklı en küçük pozitif böleni $2$'dir. $b=2$ olması gerekir. Buradan $n=c^3+d^2+25$ elde edilir. $n$ çift olduğundan $c$ ve $d$'den biri çift diğeri tek olmalıdır.

$i)$ $c$ çiftse $c=4$ olmalıdır çünkü $c=2m$ ise $m$ de $n$'nin bir böleni olacaktır. Dolayısıyla ya $m=1$ ya da $m=2$ bulunur. $c>2$ olduğundan $m=2$ ve dolayısıyla $c=4$ olmalıdır. $c=4$ yazarsak $n=d^2+89$ olur. $d$ sayısı $n$'yi böldüğünden $89$ sayısını da bölmelidir. $d>c=4$ olduğundan $d=89$ bulunur. $n=8010$ elde edilir fakat $5|8010$ olduğundan bölenlerin sıralamasında $5$'in de yer alması gerekir ama $1<2<4<89$ sıralaması olduğundan $5$, $4$ ile $89$ arasında yer almalıdır fakat bu $d=89$ olmasıyla çelişir.

$ii)$ $c$ tekse $d$ çifttir. $c$ tek olduğundan ve kendisinden küçük tek asal bölen olmadığından asal sayı olmalıdır.

$iia)$ $c=3$ ise $n=d^2+52$ olur. $n$, $3$ ile bölüneceğinden $d^2+52\equiv 0 \pmod{3}$ ve buradan $d^2\equiv 2\pmod{3}$ bulunur. Bu bir çelişkidir.

$iib)$ $c\geq 5$ ise bölen sıralaması $1<2<c$ olarak başlayıp devam ettiğinden $4$ sayısı bölenlerden birisi olamaz. Dolayısıyla $n$ sayısı $4k+2$ formatındadır. Dolayısıyla $d$ sayısı da $4$ ile bölünemez. Dolayısıyla $m$ tek bir sayı olmak üzere $d=2m$ formatında olmalıdır. $m$ sayısı da $n$'nin bir böleni olacağından $m=1$ veya $m=c$ olabilir. $d>c$ olduğundan $m=c$ ve dolayısıyla $d=2c$ olmalıdır. Yerine yazarsak $n=c^3+4c^2+25$ olur. Bu ifade $c$ ile bölündüğünden $c$, $25$'in böleni olmalıdır. $c=1$ veya $c=25$ olamayacağı barizdir çünkü $c=1$ için $c\geq 5$ şartı sağlanmaz ve $c=25$ olursa $n$ sayısı $5$ ile bölünecektir fakat bölen sıralamasında $5$ olmaz. Dolayısıyla $c=5$ ve $d=10$ olmalıdır. Bu durumda şartı sağlayan tek $n$ sayısı  $250$ olur. Bu sayının da $8$ tane pozitif böleni vardır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal