Gönderen Konu: 2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10  (Okunma sayısı 448 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 342
  • Karma: +7/-0
2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10
« : Eylül 22, 2019, 08:30:12 ös »
$a<b<c$ sayıları, $x^3-3x^2+(2-m)x+m=0$ denkleminin kökleri olsun.$$(a^2-4a-c^2)^2$$ ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 4 \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 25 \qquad\textbf{e)}\ 49$
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 342
  • Karma: +7/-0
Ynt: 2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 10
« Yanıtla #1 : Ekim 12, 2020, 07:58:47 ös »
Cevap: $\boxed{C}$

$x=1$ denklemi sağladığından ifadeyi $(x-1)$'e bölebiliriz. $$x^3-3x^2+(2-m)x+m=(x-1)(x^2-2x-m)$$ olur. Kökler $1,x_1,x_2$ olsun. Vieta teoreminden $x_1+x_2=2$ bulunur. Eğer $a=1$ ise $b+c> 2a=2$ olacağından çelişki elde edilir. Benzer şekilde $c=1$ ise $a+b<2c=2$ olur. Dolayısıyla $b=1$ olmak zorundadır. $a+c=2$ ve $ac=-m$ olmalıdır. $$a^2-4a-c^2=(a-2)^2-c^2-4=(a+c-2)(a-c-2)-4=-4$$ bulunur. Dolayısıyla, $(a^2-4a-c^2)^2=(-4)^2=16$'dır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal