Gönderen Konu: AIME 2009-I P15 Benzeri {çözüldü}  (Okunma sayısı 1674 defa)

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1762
  • Karma: +8/-0
AIME 2009-I P15 Benzeri {çözüldü}
« : Kasım 16, 2013, 08:14:29 öö »
$\triangle ABC$ de, $AB=5$, $AC=8$ ve $BC=7$ dir. $BC$ kenarı üzerinde hareketli bir $D$ noktası alınıyor. $\triangle ABD$ nin diklik merkezi $H_B$, $\triangle ADC$ nin diklik merkezi $H_C$ olmak üzere; $(BH_BD)$ çemberi ile $(DH_CC)$ çemberi $P$ noktasında kesişsin. $\triangle BPC$ nin alanı en çok kaç olabilir?
« Son Düzenleme: Eylül 07, 2019, 02:21:16 öö Gönderen: scarface »

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2974
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: AIME 2009-I P15 Benzeri
« Yanıtla #1 : Eylül 07, 2019, 02:20:54 öö »
Öncelikle problemi kenar uzunlukları olmadan genel halde çözelim:

$ABD$ üçgeninde $[BI]$ve $DK$ iki yüksekliktir. $H_B$ diklik merkezi olduğundan $m(\widehat{BH_BD})=m(\widehat{KH_BI})=180^\circ - m(\widehat{BAD})$ dir. Ayrıca $BH_BDP$ kirişler dörtgeninde $m(\widehat{BH_BD})=180^\circ - m(\widehat{BPD})$ dir. Böylece
$m(\widehat{BAD})=m(\widehat{BPD}) \tag{1}$
eşitliği elde edilir. Benzer biçimde,  $ADC$ üçgeninde $H_B$ diklik merkezi olduğundan $m(\widehat{CAD})=m(\widehat{CH_CD})$ dir. $CDH_CP$ kirişler dörtgeni olduğundan $m(\widehat{CH_CD})=m(\widehat{CPD})$ dir. Böylece

$m(\widehat{CAD})=m(\widehat{CPD}) \tag{2}$
elde edilir. $(1)$ ve $(2)$ eşitliklerinden
$m(\widehat{BAC})=m(\widehat{BPC}) \tag{3}$
sonucuna ulaşılır. $P$ noktası $[BC]$ kenarını sabit bir açı ölçüsü olan $m(\widehat{BAC})$ altında gördüğünden, $P$ noktası bir çember yayı üzerindedir.

Öte taraftan, $H_B$ ve $H_C$ diklik merkezleri olduklarından $A$ dan $BC$ ye inen dikme üzerinde bulunurlar. $m(\widehat{H_BPD})=m(\widehat{H_BBD}) =m(\widehat{H_BAD})=m(\widehat{H_CAD}) = m(\widehat{H_CCD}) = m(\widehat{H_CPD})$ olup

$m(\widehat{H_BPD})=m(\widehat{H_CPD}) \tag{4}$
elde edilir. Buna göre, $A, H_B,H_C, P$ noktaları doğrusaldır. Bu eşitliklere göre $P$ noktası sabit kalmaktadır ve yeri, $A$ noktasının $BC$ ye göre simetrisidir.


Özel olarak, problemdeki sayısal verilere geri dönersek $Alan(BPC)=Alan(BAC)=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 8 \cdot \sin60^\circ = 10 \sqrt {3}$ olur.


« Son Düzenleme: Nisan 26, 2020, 07:58:25 ös Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal