$p$ ve $p^2 - 24p + 122$ asal

[Lokman Gökçe]

Soru: $p^2-24p + 122$ ifadesinin asal sayı olmasını sağlayan kaç $p$ asal sayısı bulunur? (Lokman Gökçe)

[AtakanCİCEK]

Soruya başlarken asal sayı sorularının polinom tarzı olanları için kullanışlı ve güzel bir teorem vererek başlayayım

Teorem: $p>3$ bir asal sayı  ise $p^2\equiv 1(mod12)$  dir.

bir $p$ sayısını bölme algoritması yardımıyla $6$ ile bölümünden kalanları inceleyelim.

$p=6k+1$  durumunda asal sayılar  $p>3$ için vardır. Örneğin $p=7$ gibi

$p=6k+2$ durumunda asal sayılar $1$ tanedir ve $p=2$ dir.

$p=6k+3$ durumunda asal sayılar $1$ tanedir ve $p=3$ tür.

$p=6k+4$ durumunda asal sayılar $0$  tanedir.

$p=6k+5$ durumunda asal sayılar  $p>3$ için vardır. Örneğin $p=5$ gibi

O halde $p>3$ asal sayıları için $p\equiv \{1,5\}(mod\text{ }6)$   sağlanır. 

$(6k+1)^2=36k^2+12k+1\equiv 1(mod12)$ olacağı ve benzer şekilde

$(6k+5)^2=36k^2+60k+25\equiv 1(mod12)$  olacağı görülebilir.

Dolayısıyla $p>3$  asal sayıları için $p^2\equiv 1(mod12)$ geçerlidir.

İspat Bitmiştir.

Şimdi sorumuzu $3$  modunda inceleyelim.

$p^2-24p+122\equiv p^2+2 (mod3)$ bulunur ve $p^2\equiv 1(mod3)$ olacağından

$p>3$ asal sayılar için $p^2-24p+122$ daima $3$ ün katıdır , asal olamaz.

$p=2$ için ifadenin çift olduğu da görülebilir.  Asal olamaz.

$p=3$ için ifadenin $p^2-24p+122=59$  bulunur ki bu sayı da asaldır.

O halde bu durumu sağlayan tek $p$ asal sayısı $3$ olarak bulunur.

[Lokman Gökçe]

Problem, çeşitli tuzaklarla donatılmış orijinal Lokman Gökçe sorusudur Tek çözüm $p=3$ gibi görülse de durum gerçekte öyle değildir. Örneğin $p=17$ asalı da bir çözümdür. Başkaca çözümler de olabilir diyerek bir ipucu verelim.

Yukarıdaki yanlış çözümü değiştirmeyiniz. Aslında çoğu kişi problemi ilk çözdüğünde yukarıdaki yanlış çözümü verdi. Sıklıkla yapılan bir kavram hatasını göstermesi bakımından hatalı çözümün de öğretici bir yönü bulunuyor. Tamamlayıcı bir çözüm gerekiyor ve yeni bir mesaj ile eklemenizi rica ediyorum.

[AtakanCİCEK]

G Ö K Ç E L E N D İ K

$p>3$ asalları için $p^2-24p+122=3$ denkleminin çözümlerini bulmalıyız.  Çünkü $p^2-24p+122$  ifadesi $3$ ün katıdır ve

$p^2-24p+119=0$  eşitliği de mümkündür. Çözülürse $p=7$ ve $p=17$ çözümleri de gelecektir. 

Polinomun katsayılarından biri negatif ise böyle bir cinslik söz konusudur.  Burada $-24$ katsayısı buna neden olmaktadır.  Eğer tüm katsayılar pozitif olsaydı $p>1$ sayıları için gönül rahatlığıyla polinom $3$ ten büyük olur diyerek çözüme gidebilirdik.

Soru için aklınıza sağlık hocam.

[Lokman Gökçe]

Rica ederim, katkınız için teşekkür ederim.

Sorunun oluşumundaki fikirleri açıklamak öğretici olacaktır. Öncelikle, Fermat teoreminden dolayı $p \neq 3$ asalı için $p^2 \equiv 1 \pmod{3}$ olduğunu biliyoruz. Bunun üzerine sorumuzu kurgulayacağız.

$m,n$ pozitif tamsayılar olmak üzere asal sayılarda tanımlı bir $f(p)=p^2 -3np + 3m +2 $ fonksiyonu oluşturuyoruz. Burada  $p \neq 3$ iken $f(p)\equiv 0 \pmod{3}$ olduğunu görmek kolaydır. Amacımız, hem $f(3)$ hem de bir $p\neq 3$ asal değeri için $f(p)$ asal sayı olacak biçimde $(m,n)$ ikilileri kurgulamaktır.

Bunun için $f(3)=11+3m-9n = q $ asal sayı ve $p\neq 3$ asal değeri için $f(p)=p^2 -3np + 3m +2=3$ olmalıdır. Çünkü $3$ ile bölünebilen bir asal sayı vardır. Bu da $3$ ün kendisidir! Bu eşitliklerden $$p^2 -3np + 9n+q -12=0 \tag{1}$$ elde edilir.

1. Sorunun Hazırlanışı:
$(1)$ denkleminin kökleri olan asal sayıların $p=7$ ve $p=17$ olmasını isteyelim. Vieta formüllerinden
$$ 3n=7+17$$ ve $$ 9n+q -12=7\cdot 17 $$ olup $n=8$, $q=59$ asalı ve $m=40$ bulunur. Böylece ilk sorumuz hazırdır:

Soru 1: $p^2−24p+122$ ifadesinin asal sayı olmasını sağlayan kaç $p$ asal sayısı bulunur? (Yukarıda ilk mesajdaki sorudur.)



Yeni Bir Soru Hazırlayalım:
Şimdi de $(1)$ denkleminin kökleri olan asal sayıların $p=11$ ve $p=19$ olmasını isteyelim. Vieta formüllerinden $$ 3n=11+19$$ ve $$ 9n+q -12=11\cdot 19 $$ olup $n=10$, $q=131$ asalı ve $m=70$ bulunur. Artık ikinci sorumuz hazırdır:

Soru 2: $p^2−30p+212 $ ifadesinin asal sayı olmasını sağlayan kaç $p$ asal sayısı bulunur? (Cevap $p\in \{3, 11,19 \}$ olup üç tanedir.)

Not: Benzer düşünce ile oluşturulmuş daha yüksek dereceli bir soru yazım örneği için buraya bakabilirsiniz.