Gönderen Konu: Cetvel ve Pergel yardımı ile çizilebilen düzgün çokgenler  (Okunma sayısı 623 defa)

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 235
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Cetvel ve Pergel yardımı ile çizilebilen düzgün çokgenler
« : Ağustos 27, 2019, 06:28:56 ös »
$n\ge 3$ bir pozitif tam sayı olmak üzere hangi $n$ kenarlı düzgün çokgenlerin pergel ve cetvel yardımıyla çizilebileceğini belirleyiniz ve $n=5$ için bu çizimi yaparak gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ağustos 28, 2019, 04:58:03 ös Gönderen: scarface »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2916
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: Cetvel ve Pergel yardımı ile çizilebilen düzgün çokgenler
« Yanıtla #1 : Ağustos 28, 2019, 04:54:44 ös »
Matematik Dünyası dergisinin arşivine netten ulaşabiliyoruz. 1992 sayılarından birinde bu konudan bahsediliyor. Kaynak 1 olarak bağlantıyı paylaştım.

$n=10$ çizimi yapılıp sonra birer köşe atlanarak köşeler birleştirilirse $n=5$ çizimi de yapılmış olunuyor.
$n=3,4,5,6,8,10$ için çizimler en az Pisagor'dan beridir biliniyor. Forumumuzda da Öklid'in Elementler Kitabı 1. cilt incelemesi yaparken Öklid'in ispatladığı ilk teorem olarak $n=3$ için eşkenar üçgen çiziminin nasıl yapıldığı açıklanmıştı. Sanıyorum diğer ciltlerde $n=4,5,6,8,10$ için çizimlerin nasıl yapılacağı gösterilmiştir. Bunların her birinin çizilebilirliğinin gösterilmesi, konuya yeni başlayan okuyucular açısından bu konuyu kavratıcı çok faydalı birer antrenman olacaktır.

Düzgün $10$-gen çiziminde benim favori yöntemim kenarları $\sqrt{5}-1, \sqrt{5}-1, 2$ olan ikizkenar üçgeni çizerek $36^\circ, 72^\circ, 72^\circ $ açı ölçülerini elde etmektir. $36^\circ$ merkez açı ve $R=\sqrt{5}-1$ yarıçap olacak biçimde on tane bu ikizkenar üçgenden çizilirse düzgün $10$-gen elde etmiş oluruz.

Burada bir uzunluğun $\sqrt{5}-1$ katının ve $2$ katının nasıl çizildiği, $\sqrt{5}-1, \sqrt{5}-1, 2$ kenar uzunluklarına sahip üçgenin iç açı ölçülerinin hesabı gibi temel meselelere girmiyorum. Birçok çizim probleminin ispatını yine forumda çizim problemleri başlığında sunmuştuk.

Gauss, $n\geq 0$ tamsayı iken $F_n=2^{{2}^n}+1 $ formundaki asal sayılar için (ki bunlar Fermat asal sayıları olarak bilinir) kenar sayısı $F_n$ asalı olan her düzgün çokgenin çizilebilirliğini kanıtlıyor. Daha genel olarak şu teorem de vardır:

Gauss-Wantzel Teoremi: $n,t$ negatif olmayan tamsayılar ve $i=1,2,\dots, t$ için $p_i$ ler farklı Fermat asalları olmak üzere bir düzgün çokgenin çizilebilir olması için gerek ve yeter şart kenar sayısının $2^n p_1p_2 \dots p_t$ biçiminde olmasıdır.

Şu anda bilinen Fermat asalları yalnızca beş tane olup $F_0=3, F_1=5, F_2=17, F_3=257, F_4=65537$ dir. Dolayısıyla bunların kombinasyonlarından $2^5-1=31$ tane tek kenarlı düzgün çokgenin çizilebilir olduğu bilgisine ulaşıyoruz. Wikipedia'da bununla ilgili bilgiler mevcuttur. (Bkz. Kaynak 2)

Öte taraftan $n=7,9,11,13,14,\dots $ kenarlı düzgün çokgenler pergel ve cetvelle çizilemezler.


Kaynak:
1. http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF_eskisayilar/92_4_7_10_DUZGUN.pdf
2.https://www.wikizeroo.org/index.php?q=aHR0cHM6Ly9lbi53aWtpcGVkaWEub3JnL3dpa2kvQ29uc3RydWN0aWJsZV9wb2x5Z29u
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal