diyafont ve aynı zamanda polinom denklem {çözüldü}

[AtakanCİCEK]

USAMO $2014$ $P1$  sorusu ile uğraşırken karşıma çıkan bir denklem

$x^4+ax^3+(b+5)\cdot x^2+ax+b=0$  denkleminin  $(x,a,b)$ tam sayı üçlüsü çözümü varsa $\mid x \mid \le 1$  olduğunu gösterip denklemi çözünüz.

[Lokman Gökçe]

Denklemde $b$ yi yalnız bırakalım. $b=-\dfrac{x^4+ax^3+5x^2+ax}{x^2+1}=-\left(x^2+4 + ax - \dfrac{4}{x^2+1}\right)$ olur. $a,b,x$ birer tamsayı olduğundan $\dfrac{4}{x^2+1}$ bir tamsayı olmalıdır. Buradan $x^2+1=1$ veya $x^2+1=2$ olup $x\in \{0,1,-1 \}$ elde edilir.

$x=0$ için $b=0$ olur. $a$ ise keyfi olarak her tamsayı değerini alabilir. $(x,a,b)=(0,a,0)$ biçiminde sonsuz çoklukta tamsayı çözüm üçlüsü elde edilir.

$x=1$ için $b=-3-a$ olur. $a$ keyfi olarak her tamsayı değerini alabilir. $(x,a,b)=(1,a,-3-a)$ biçiminde sonsuz çoklukta tamsayı çözüm üçlüsü elde edilir.

$x=-1$ için $b=-3+a$ olur. $a$ keyfi olarak her tamsayı değerini alabilir. $(x,a,b)=(-1,a,-3+a)$ biçiminde sonsuz çoklukta tamsayı çözüm üçlüsü elde edilir.

Görüldüğü gibi tüm çözüm üçlülerinde $|x|\leq 1$ olmaktadır. 

[AtakanCİCEK]

Ben de aynı denklemi modüler aritmetik yardımı ile irdeleyeyim.

Denklem $\mod x$ altında incelenirse ;

$b\equiv0 \pmod x$  olacakğından $b=kx , k\in Z$ vardır.

$x\not = 0 $ için

$x^4+ax^3+(kx+5).x^2+ax+kx=0$

$x^3+ax^2+(kx+5).x+a+k=0$

Benzer şekilde $a+k=mx$ dönüşümü yapılırsa

$x^2+ax+kx+15+m=0$

Benzer şekilde $15+m=qx$ dönüşümü yapılırsa

$x^2+ax+kx+qx=0$

$x+a+k+q=0$  elde edilir.

Son denklemde $a+k=mx$  eşitliği yazılırsa ;

$x.(m+1)=-q$  yani $x=\dfrac{-q}{m+1}$  elde edilir.

Son elde ettiğimiz eşitlik ile $15+m=qx$  eşitliği beraber çözülebilir.

$m^2+16m+15=-q^2$  diyafont denklemde $m\in \{-1,-2,-3,...,-15\}$  olabilir.  Çünkü $a\ge 0$ olursa $-q^2>0$ çelişkisi gelir.

$a\le -16$ için ise $-q^2>0$ gelir. O halde bu aralıkta olmalıdır.  Denenirse

$m \in \{-1,-8,-15\}$   değerleri için çözümün olduğu görülür.

     $1)$ $m=-1$ ise ;
       
         $q=0$ dır.  $q+k=mx$ denkleminden $k=-x$ bulunur. yazılırsa $b=-x^2$ çıkar. $x+a+k+q=0$  denkleminde elde edilenler
          yerleştirilirse $a=0$ bulunur.
           $a=0$ için ve $b=-x^2$ için denklem başlangıçtaki denklem $-6x^2=0$ gelir. Bu çözümü $x\not = 0$ için yaptığımızdan bu 
                 bölümün çözümü yoktur.
     $2)$ $m=-8$  ise ;
         
           $q=\pm 7$  dir.   $x.(m+1)=-q$ da yerine konulursa $x=\pm 1$ bulunur.

     $3)$ $m=-15$  ise ;

         $q=0$ olduğundan direkt $x=0$ olmalıdır. Fakat bu çözümü $x \not = 0$ için yaptığımızdan çözüm yoktur.

O halde $x$ in alabileceği değerler $x\in \{-1,0,1\}$  bulunur.


$1)$  $x=0$ için  $b=0$ ve $a=a$ bir çözümdür.  $(0,a,0)$ elde edilir.

$2)$  $x=-1$ için $b=a-3$  $a=a$ bir çözümdür.  $(-1,a,a-3)$ elde edilir.

$3)$ $x=1$ için $b=-a-3$ $a=a$  bir çözümdür.  $(1,a,-a-3)$ elde edilir.