Gönderen Konu: Üçgen oluşması için bir gerek ve yeter koşul {çözüldü}  (Okunma sayısı 286 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2916
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Soru: $a$, $b$, $c$ pozitif reel sayıları veriliyor. $a$, $b$ ve $c$ nin bir üçgenin kenar uzunlukları olabilmesi için gerek ve yeter şart $p+q = 1$ olacak şekilde herhangi $p$, $q$ reel sayıları için $$ pa^2+qb^2>pqc^2$$
olmasıdır, gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ağustos 18, 2019, 12:53:16 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 257
  • Karma: +6/-0
Ynt: Üçgen oluşması için bir gerek ve yeter koşul
« Yanıtla #1 : Ağustos 18, 2019, 12:40:55 öö »
İfadeyi düzenlersek $p^2c^2+p(a^2-b^2-c^2)+b^2>0$ olur. $f(p)=p^2c^2+p(a^2-b^2-c^2)+b^2$ olsun. Üçgen eşitsizliğinden $$\Delta=(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2=(a^2-(b+c)^2)(a^2-(b-c)^2)<0$$ Yani $f$ fonksiyonunun kökü yoktur. $f(0)=b^2$ olduğundan her $p$ için fonksiyon pozitiftir.

Şimdi tersini ispatlayalım. Fonksiyonun daima pozitif olması için $\Delta$'nın negatif olması gerekir. Yani $$\Delta=(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2=(a^2-(b+c)^2)(a^2-(b-c)^2)<0$$ olmalı, burada çarpanlardan biri pozitif, diğeri negatif olmalıdır.

$i)$ $(b-c)^2>a^2>(b+c)^2$ olursa pozitif reel sayılar denildiği için olamaz.

$ii)$ $(b+c)^2>a^2>(b-c)^2$ ise $b+c>a>|b-c|$ olur yani üçgen eşitsizliği olur.

Dolayısıyla üçgen olması için gerek ve yeterli şart $pa^2+(1-p)b^2>p(1-p)c^2$ olmasıdır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2916
  • Karma: +20/-0
  • İstanbul
Ynt: Üçgen oluşması için bir gerek ve yeter koşul
« Yanıtla #2 : Ağustos 18, 2019, 12:52:34 öö »
Tebrikler metonster,

Bazen ikinci dereceden fonksiyon ve diskriminant incelemesi problem çözümlerinde çok kullanışlı olabiliyor. Buna bir diğer örnek Üçgende pozitif bir ifade başlıklı buradaki problemimizde verilmişti. Konu bütünlüğü açısından bağlantı vermiş olalım.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal