Gönderen Konu: Üçgende Pozitif Bir İfade {çözüldü}  (Okunma sayısı 539 defa)

Çevrimiçi scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3010
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Üçgende Pozitif Bir İfade {çözüldü}
« : Ağustos 16, 2019, 11:22:03 ös »
Soru: $a$, $b$, $c$ bir üçgenin kenar uzunlukları ve $k\neq 1 $ keyfi bir gerçel olmak üzere $$ \dfrac{ka^2}{(1-k)^2 } + \dfrac{c^2-kb^2}{(1-k) }$$

ifadesinin daima pozitif olduğunu kanıtlayınız.

Kaynak: Ahmet Erdem, Modern Geometri Problemleri (1969), sf 25.
« Son Düzenleme: Ağustos 18, 2019, 12:22:15 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 272
  • Karma: +7/-0
Ynt: Üçgende Pozitif Bir İfade
« Yanıtla #1 : Ağustos 17, 2019, 02:04:39 ös »
Burada net bir şekilde $A=ka^2+(1-k)(c^2-kb^2)>0$ göstermemiz gerektiği görülebilir. Şimdi kosinüs teoreminden $c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cosC$ yazarsak; $$A=ka^2+(1-k)(a^2+b^2-2ab\cdot cosC-kb^2)$$ olur ve $1>cosC>-1$ olduğundan

$i)$ $k>1$ ise $$A=ka^2+(1-k)(a^2+b^2-2ab\cdot cosC-kb^2)>ka^2+(1-k)(a^2+b^2-2ab-kb^2)$$ olur. Eşitsizliğinin sağ tarafının pozitif olduğunu göstermemiz yeterlidir. İfadeyi düzenlersek, $$A>b^2(k-1)^2+a^2+2ab(k-1)>0$$ olur, dolayısıyla $A$ pozitiftir.

$ii)$ $k<1$ ise $i$ şıkkında yapılan işlemleri tekrar yaparsak (sadece eşitsizliğin sağ tarafındaki $2ab$'nin işareti pozitif olacaktır.) $$A>b^2(k-1)^2+a^2+2ab(1-k)>0$$ olur, yani $A$ ifadesi her zaman pozitiftir.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimiçi scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3010
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Üçgende Pozitif Bir İfade
« Yanıtla #2 : Ağustos 18, 2019, 12:44:06 öö »
Çözüm 2: Payda eşitlersek $\dfrac{ka^2+(1-k)(c^2-kb^2)}{(1-k)^2}$ olur. Bu ifadenin pay kısmına $f(k)$ dersek $k$ ya göre ikinci dereceden bir $f$ fonksiyonu yazmış oluyoruz. Düzenlersek $f(k)=b^2k^2+(a^2-b^2-c^2)k+c^2$ olur. Her $k\in \mathbb R $ için $f(k)>0$ olduğunu gösterelim. Bunun için $f$ fonksiyonunun diskriminantının negatif olduğunu göstermek gerekli ve yeterlidir.

$$\Delta =\left (a^2-b^2-c^2 \right)^2 - 4b^2c^2$$
olur. İki kare farkından

$ \Delta = \left (a^2-b^2-c^2-2bc \right) \left (a^2-b^2-c^2+2bc \right) $
$ \Delta = \left(a^2-(b+c)^2\right) \left(a^2-(b-c)^2 \right) $
$ \Delta = (a-b-c)(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$

olur. $a$, $b$, $c$ sayıları üçgen eşitsizliğini sağladığından bu son ifadenin ilk çarpanı negatif, diğer çarpanları ise pozitiftir. Böylece $\Delta <0 $ olur. Göstermek istediğimiz de buydu.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal