Gönderen Konu: Açıortay Uzunluğu İçin Bir Eşitsizlik {çözüldü}  (Okunma sayısı 419 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Açıortay Uzunluğu İçin Bir Eşitsizlik {çözüldü}
« : Ağustos 09, 2019, 08:13:42 ös »
Soru: Herhangi bir üçgende bir köşeye ait iç açıortayın uzunluğu, bu köşeye komşu olan kenar uzunluklarının aritmetik oralamasından küçüktür, gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ağustos 10, 2019, 01:07:46 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2943
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: Açıortay Uzunluğu İçin Bir Eşitsizlik
« Yanıtla #1 : Ağustos 10, 2019, 01:07:25 öö »
Problem çeşitli yollarla çözülebilir. Bir yolu şöyle sunalım:

$ABC$ üçgeninde bir kenarortay $[AD]$ ve $\widehat{A}$ açısının iç açıortayı $[AE]$ olsun. $|AC|=b$, $|AB|=c$ diyelim. Genelliği bozmadan $b\geq c $ alabiliriz. Bu halde $ m(\widehat{AEC})\geq 90^\circ $ olacağını görmek kolaydır. Ayrıca iç açıortay teoreminden $\dfrac{|BE|}{|EC|}=\dfrac {c}{b}\leq 1 $ olduğundan $E \in [BD]$ dir. Böylece $AED$ üçgeninde açı-kenar bağıntılarından $|AE|\leq |AD|$ dir. Yani bir köşeden çıkan iç açıortayın uzunluğu, kenarortayın uzunluğunu geçemez.


Şimdi $ABEC$ paralelkenarını oluşturalım. $|CE|=c$ yazabiliriz. Köşegenler birbirini ortaladığından $D$, $[AE]$ köşegeninin orta noktası olur. $|AE|=2|AD|$ dir. $AEC$ üçgeninde, üçgen eşitsizliğinden $b+c > |AE|$ olup $$|AD| < \dfrac{b+c}{2}$$ ve bunun sonucunda $$|AE| < \dfrac{b+c}{2}$$
elde edilir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal