Gönderen Konu: 2006 Hindistan Mat Olimpiyat Problem 5 {çözüldü}  (Okunma sayısı 608 defa)

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2974
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
2006 Hindistan Mat Olimpiyat Problem 5 {çözüldü}
« : Ağustos 03, 2019, 07:01:49 ös »
$2006$ yılında Hindistan ulusal matematik olimpiyatının $5.$ problemini sunalım:

Soru: $ABCD$ kirişler dörtgeninde, $|AB|=a$, $|BC|=b$, $|CD|=c$, $m(\widehat{ABC})=120^\circ$, $m(\widehat{ABD})=30^\circ$ dir.

$\bullet   \    \     c\geq a + b $

$\bullet   \    \     \left| \sqrt{c + a} - \sqrt{c + b} \right | = \sqrt{c - a - b} $

olduğunu ispatlayınız.
« Son Düzenleme: Ağustos 05, 2019, 12:42:43 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

Çevrimdışı scarface

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2974
  • Karma: +21/-0
  • İstanbul
Ynt: 2006 Hindistan Mat Olimpiyat Problem 5
« Yanıtla #1 : Ağustos 05, 2019, 12:42:12 öö »
Öncelikle $a,b,c$ arasında bir bağıntı bulacağız. Çemberin merkezi olan $O$ noktası $[CD]$ kenarının orta noktasıdır. Çemberin yarıçapı $\dfrac{c}{2}$ olduğundan $AOD$ eşkenar üçgeninde $|AD|=\dfrac{c}{2}$ olur. Ayrıca $ADC$ dik üçgeninde $m(\widehat{ADC})=60^\circ $ olduğundan $|AC|=\dfrac{c\sqrt 3}{2}$ dir. Şimdi $ABC$ üçgeninde kosinüs teoremini uygularsak
$$ \dfrac{3c^2}{4} = a^2  + b^2 -2ab\cos 120^\circ $$
olup
$$ 3c^2 = 4a^2 + 4b^2 + 4ab \tag{1}$$
eşitliği elde edilir.


Şimdi $(1)$ eşitliğini de göz önüne alarak problemimizin ilk kısmındaki eşitsizliği ispat edelim:

         $ c \geq a + b \iff 3c^2 \geq 3(a + b)^2 $
$ \iff 4a^2 + 4b^2 + 4ab \geq 3a^2 + 3 b^2 + 6ab $
$ \iff a^2 + b^2 -2ab \geq 0 $
$ \iff (a-b)^2 \geq 0 $
elde ederiz. Bu son eşitsizlik doğru olduğundan ilk $ c \geq a + b$ eşitsizliği de doğrudur. Ayrıca $(a-b)^2 \geq 0$ ifadesine göre, eşitlik durumunun sağlanması ancak $a=b$ halinde mümkündür.

Şimdi de $\left| \sqrt{c + a} - \sqrt{c + b} \right | = \sqrt{c - a - b}$ eşitliğini kanıtlayalım. Ayrıca sağ taraftaki kök ifadenin içi $c-a-b \geq 0 $ olduğuna da dikkat edelim.

        $\left| \sqrt{c + a} - \sqrt{c + b} \right | = \sqrt{c - a - b}$
$\iff (c+a) + (c+b) - 2\sqrt{(c+a)(c+b)} = c-a-b $
$\iff c + 2a + 2b = 2\sqrt{(c+a)(c+b)} $
$\iff c^2 + 4a^2 +4b^2 + 4ac + 4bc + 8ab = 4c^2 + 4ab + 4ac + 4bc $
$\iff 3c^2 = 4a^2 + 4b^2 + 4ab $

Son eşitlik $(1)$ denklemi olup doğru olduğundan $\left| \sqrt{c + a} - \sqrt{c + b} \right | = \sqrt{c - a - b}$ eşitliği de doğrudur $\blacksquare$
« Son Düzenleme: Mayıs 13, 2020, 12:33:03 öö Gönderen: scarface »
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal