Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 21

[Squidward]

$m(\widehat{ACB}) = 90^\circ$ olan bir $ABC$ dik üçgeninde $C$ ye ait yükseklik ayağı $D$ olmak üzere $|AD| = 8$ ve $|BD| = 17$ dir. $\widehat{ACB}$ ve $\widehat{CDB}$ açılarının iç açıortaylarının kesişim noktası $E$ ise, $|CE|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 15 \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 12 \qquad\textbf{d)}\ 10 \qquad\textbf{e)}\ 9$

[Squidward]

Yanıt : $\boxed{D}$

"Bash" çözüm:

ABC üçgeninde öklit teoreminden $|DC|^2 = |AD| \cdot |DB|$, $|DC| = 2\sqrt{34}$, $DBC$ dik üçgeninde Pisagor Teoreminden $|BC| = 5 \sqrt{17}$ olur ve $m(\widehat{ABC}) = \alpha$ dersek $\tan{\alpha} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{17}}$ olur, çözüme geçelim. $DE$ nin $BC$ ile kesiştiği nokta $F$ olsun. $m(\widehat{DFC}) = 45 + \alpha$ olur. $F$'den $CE$'ye indirilen dikme ayağı $H$ olsun. $FHC$ ikizkenar bir dik üçgen, $FHE$ ise açılarının trigonometrik oranları bilinen bir üçgen olur. $|FC| = x \sqrt{2}$ dersek, $|FH| = x$ ve $\tan{\alpha} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{17}}$ olduğundan $|EH| = x\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}} $ olur. İstenilen uzunluk olan $|EC| = |EH| + |CH| = x\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}} + x$ olur. Açıortay teoreminden $\frac{|FC|}{|BF|} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$dir. $|FC| = 2\sqrt{2}k$ dersek $|BF| = \sqrt{17}k$ olur. $|FC| + |BF| = |BC|$'dir. $2\sqrt{2}k + \sqrt{17}k = 5 \sqrt{17}$ olur, buradan $k = \frac{5 \sqrt{17}}{2\sqrt{2}+\sqrt{17}}$ bulunur, $|FC| = x\sqrt{2} = 2\sqrt{2} k$ den $x$ bulunur ve $|EC|$ yi bulduran denklemde yerine yazılırsa $|EC| = 10$ bulunur.

[Squidward]

Soruyla uğraşırken farkettiğim bir şey, $CE$ ile $AB$'nin kesiştiği noktaya $G$, $DE$'nin $BC$ ile kesiştiği noktaya $F$ dersek $m(\widehat{DGC}) = m(\widehat{DFC})$ olduğundan $D, G , F, C$ noktaları çemberseldir ve $m(\widehat{GFC}) = 90^\circ$ olur, uğraştım bir şey getiremedim, nasıl işe yarar bilmiyorum ama belki birileri bir şey getirebilir .

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$\angle ACE=\angle ADE=45^\circ$ olduğu için $ACDE$ bir kirişler dörtgenidir. Bu durumda $\angle AEC=\angle ADC = 90^\circ$, dolayısıyla $\triangle AEC$ ikizkenar bir dik üçgendir. Öklit'ten $AC^2=AD\cdot AB = 8\cdot 25 = 200 \Rightarrow AC = 10\sqrt 2$, buradan da $CE = AE = 10$ elde edilir.