Tübitak Lise 1. Aşama 2019 Soru 11

[AtakanCİCEK]

Ahmet’in $2019$ yılındaki yaşı, doğum yılının son iki basamağının çarpımından $4$ eksiktir. Buna göre Ahmet’in doğum yılının rakamları toplamı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 21 \qquad\textbf{b)}\ 22  \qquad\textbf{c)}\ 23 \qquad\textbf{d)}\ 24 \qquad\textbf{e)}\ 25$

[AtakanCİCEK]

Yanıt:$\boxed{E}$

Doğum yılı $ABXY$ olsun. $2000$ den büyük olmadığını görelim $2000-2010$ arası yaşı varsa $X=0$ olduğundan $X.Y-4=-4$ olur insanın yaşı negatif olamaz.
$2011-2014$ arası $XY-4<0$ dır.

$2015$ için $4$ yaşında olması gerekirken $XY-4=1 $
$2016$ için $3$ yaşında olması gerekirken $XY-4=2 $
$2017$ için $2$ yaşında olması gerekirken $XY-4=3 $
$2018$ için $1$ yaşında olması gerekirken $XY-4=4 $
$2019$ için $0$ yaşında olması gerekirken $XY-4=5 $

Dolayısıyla yaşı $19XY$ formunda olmalıdır.

$2019-19XY=119-10X-Y=XY-4$ şeklinde diyafont denklemimizi kuralım. $X$ ve $Y$ nin rakam olduğunu mutlaka not edelim.
Denklemimizi $123-10X=Y \cdot (X+1)$     $\dfrac{123-10X}{X+1}=Y$ ve $Y \in \mathbb Z$ olduğundan yandaki ifade tamsayı olmalıdır. Polinom bölmesi yapalım.
$-10+\dfrac{133}{X+1}=Y \in \mathbb Z$ ve  $X+1 \mid 133$ olmalıdır. $X$ in rakam olduğunu bildiğimizden dolayı ve $19 \cdot 7=133$ olduğundan ancak ve ancak $X+1=7$ olduğunu söyleriz $-10+\dfrac{133}{X+1}=9=Y$ bulunur. Yani Ahmet'in doğum yılı $1969$ olarak bulunur.
$1+9+6+9=25$ bulunur.