Gönderen Konu: Sinüs Açılımı  (Okunma sayısı 664 defa)

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 280
  • Karma: +7/-0
Sinüs Açılımı
« : Mayıs 08, 2019, 11:24:35 öö »
$n$ doğal sayı olmak üzere, $$(\sin{x})^{2n+1}=\dfrac{1}{4^{n}}\left( \left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ n \end{array} \right)\sin{x}-\left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ n-1 \end{array} \right)\sin{3x}+ \cdots +(-1)^n \left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ 0 \end{array} \right)\sin{((2n+1)x)}\right)$$ olduğunu gösteriniz.
« Son Düzenleme: Ağustos 25, 2019, 03:20:01 ös Gönderen: scarface »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı metonster

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Demirbaş Üye
  • ********
  • İleti: 280
  • Karma: +7/-0
Ynt: Sinüs Açılımı
« Yanıtla #1 : Temmuz 31, 2020, 07:37:51 ös »
$f(x)=\dfrac{1}{4^{n}}\left( \left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ n \end{array} \right)\sin{x}-\left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ n-1 \end{array} \right)\sin{3x}+ \cdots +(-1)^n \left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ 0 \end{array} \right)\sin{((2n+1)x)}\right)$ diyelim. Öncelikle şu görülüyor ki $f$ fonksiyonu tek fonksiyondur, dolayısıyla da $f(x)=-f(-x)$'dir. $$-f(-x)=-\dfrac{1}{4^{n}}\left( \left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ n \end{array} \right)\sin{(-x)}-\left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ n-1 \end{array} \right)\sin{(-3x)}+ \cdots +(-1)^n \left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ 0 \end{array} \right)\sin{(-(2n+1)x)}\right)$$ $$f(x)=\dfrac{1}{4^{n}}\left( \left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ n+1 \end{array} \right)\sin{x}-\left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ n+2 \end{array} \right)\sin{3x}+ \cdots +(-1)^n \left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ 2n+1 \end{array} \right)\sin{((2n+1)x)}\right)$$ $f(x)-f(-x)=2f(x)$ olduğundan $$2f(x)=\dfrac{(-1)^{n+1}}{4^{n}}\left( \left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ 0 \end{array} \right)\sin{(-(2n+1)x)}-\left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ 1 \end{array} \right)\sin{(-(2n-1)x)}+ \cdots - \left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ 2n+1 \end{array} \right)\sin{((2n+1)x)}\right)$$ $\mathfrak{I}(e^{ix})=\sin{x}$ olduğundan (sanal kısmı), $$f(x)=\mathfrak{I} \left (\dfrac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}}\left( \left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ 0 \end{array} \right)e^{-(2n+1)ix}-\left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ 1 \end{array} \right)e^{-(2n-1)ix}+ \cdots - \left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ 2n+1 \end{array} \right)e^{(2n+1)ix}\right) \right )$$ olur.  Bunu da düzenlersek, $$f(x)=\mathfrak{I} \left (\dfrac{(-1)^{n+1}e^{-(2n+1)ix}}{2^{2n+1}}\left( \left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ 0 \end{array} \right)(e^{2ix})^0-\left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ 1 \end{array} \right)(e^{2ix})^1+ \cdots - \left( \begin{array}{c} 2n+1 \\ 2n+1 \end{array} \right)(e^{2ix})^{2n+1}\right) \right )$$ $$\Rightarrow f(x)=\mathfrak{I} \left (\dfrac{(-1)^{n+1}e^{-(2n+1)ix}}{2^{2n+1}}\left (- \left(e^{2ix}-1 \right )^{2n+1} \right ) \right )=\mathfrak{I} \left (\dfrac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}} \left( e^{ix}-e^{-ix} \right )^{2n+1} \right )$$ $\sin{x}=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ olduğundan $e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin{x}$ olur. Dolayısıyla $$f(x)=\mathfrak{I} \left (\dfrac{(-1)^n}{2^{2n+1}} \left ( 2i\sin{x}  \right )^{2n+1} \right )=\mathfrak{I} \left (\dfrac{(-1)^n}{2^{2n+1}} 2^{2n+1}i^{2n+1} \left (\sin{x}  \right )^{2n+1} \right )$$ $i^{2n+1}=(i^{2})^n\cdot i=i\cdot (-1)^n$ olduğundan $$f(x)=\mathfrak{I} \left ( i(\sin{x})^{2n+1}\right )=(\sin{x})^{2n+1}$$ bulunur.

Not: Bu eşitliği bir integral sorusunu çözmeye çalışırken fark etmiştim fakat ispatlayamamıştım. Artık ispatı da olduğuna göre sorularda kullanılabilir.
« Son Düzenleme: Temmuz 31, 2020, 08:02:15 ös Gönderen: metonster »
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal