Tübitak Lise Takım Seçme 2019 Soru 6

[Arman]

$k$ bir pozitif sayı tam sayı olmak üzere,
$$n=2k\text{  ise  } R_n=\{-k, -(k-1),\ldots, -1, 1,\ldots,k-1,k\}$$
$$n=2k+1\text{   ise  } R_n=\{-k, -(k-1),\ldots, -1, 0, 1,\ldots, k-1, k\}$$
olsun.Bir düzenek birkaç bilyeden ve bazı bilye ikililerini birleştiren kırmızı veya beyaz iplerden oluşuyor. Her bir bilye $R_n$ kümesindeki sayılardan birinin, iple birleştirilmiş herhangi iki bilyenin sayıları farklı olacak biçimde yazılmasına iyi etiketleme diyelim. Her bir bilyeye $R_n$ kümesindeki sayılardan birinin, beyaz bir iple birleştirilmiş herhangi iki bilyenin sayıları farklı olacak, kırmızı iple birleştirilmiş herhangi iki bilyenin sayılarının toplamı $0$ olmayacak şekilde yazılmasına hassas etiketleme diyelim.

$n\ge3$ olmak üzere, $R_n$ ile iyi etiketlenebilen her düzenek $R_m$ ile hassas etiketlenebiliyorsa, $m$ nin alabileceği en küçük değer nedir?