Gönderen Konu: Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2019 Soru 5  (Okunma sayısı 531 defa)

Çevrimdışı Arman

  • G.O Sevecen Üye
  • ****
  • İleti: 52
  • Karma: +2/-0
Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2019 Soru 5
« : Şubat 27, 2019, 06:59:26 ös »
Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $|BC|$ nin orta noktası $D$ olmak üzere $|AD|$ üzerinde bir $P$ noktası alınıyor. $ABP$ ve $ACP$ açılarının iç açıortayları $Q$ noktasında kesişiyor. $BQ\bot QC$ ise, $Q\in [AP]$ olduğunu kanıtlayınız.

Çevrimdışı nk6

  • G.O İlgili Üye
  • **
  • İleti: 15
  • Karma: +0/-0
Ynt: Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2019 Soru 5
« Yanıtla #1 : Şubat 28, 2019, 04:45:31 ös »


$A$ dan geçen ve $BC$ ye $B$ ve $C$ de teğet olan çemberler $P'$ noktasında kesişsin.

Lemma: $AP$ doğrusu $BC$ yi ortalar (yani $A$, $P$, $D$ doğrusaldır).

İspat: $AP$ doğrusunun $BC$ yi kestiği noktaya $D'$ dersek kuvvetten $|D'B|^2 = |D'P|\cdot|D'A| = |D'C|^2$ olur, dolayısıyla $D'\equiv D$

İddia 1: $P$ noktası $P'$ ne denk olmak zorundadır.

İspat: $\angle{ABP}=2\alpha$ ve $\angle{ACP}=2\beta$ dersek kolaylıkla $\angle{BAC} = 90-\alpha-\beta$ ve $\angle{BPC}=90+\alpha+\beta$ olduğunu buluruz.

Diğer yandan  $\angle{BP'C} = 180-\angle{P'BC}-\angle{P'CB} = 180-\angle{BAC} = \angle{BPC}$ olduğundan ve $AD$ doğru parçası üzerinde bu koşulu sağlayan tek nokta olduğundan $P'\equiv P$ olur.

İddia 2: $\frac{AB}{BP}=\frac{AC}{CP}$

İspat: $ABC$ ve $PBC$ üçgenlerinde sinüs teoreminden:

$\frac{AB}{AC} = \frac{\sin{CAP}}{\sin BAP} = \frac{\sin PCB}{\sin PBC } = \frac{PB}{PC}$

İddia 2'nin soruyu bitirdiği açıktır.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal