Tübitak Lise 1. Aşama 2018 Soru 26

[AtakanCİCEK]

$2$ nin alabileceği tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin $p$ ile bölümünden kalanların alabileceği farklı değerlerin toplamının $p$ ye eşit olmasını sağlayan $2018$ den küçük kaç $p$ asalı vardır ?

$\textbf{a)}\  1 \qquad\textbf{b)}\ 2    \qquad \textbf{c)}\ 3    \qquad \textbf{d)}\ 4   \qquad\textbf{e)}\  5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Öncelikle $p=2$ için sağlamadığı açıktır. $p>2$ için $2^r<p<2^{r+1}$ olsun. Buna göre $$ p\leq 2^{r+1}-1 $$ olacağını aklımızda tutalım. $2^0,2^1,...,2^r$ değerleri $p$'den küçük olduklarından $p$ modunda kalan kendisine eşittir. $2$'nin alabileceği tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin $p$ ile bölümünden farklı kalanlarının toplamı $A$ olsun. $$A\geq 1+2^1+2^2+\cdots +2^{r}=2^{r+1}-1$$
yazılır. $A=p$ olabilmesi için $p=2^{r+1}-1$ olması gerekir. Bu formattaki $2018$'den küçük asal sayılar; $2^2-1,2^3-1,2^5-1,2^7-1$ olur. Yani $4$ tane asal sayı vardır.