Gönderen Konu: Geometri açı hesaplama sorusu {çözüldü}  (Okunma sayısı 1326 defa)

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 249
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Geometri açı hesaplama sorusu {çözüldü}
« : Aralık 12, 2018, 07:03:10 ös »
Bir $ABC$ üçgeninde $\mid AC \mid>\mid BC \mid$ ve $[CM]$ kenarortay ve $[CH]$ yüksekliktir. $m(\widehat{ACM})=m(\widehat{BCH})=17^\circ $ ise $m(\widehat{MCH})$ kaç derecedir?
« Son Düzenleme: Aralık 16, 2019, 02:22:22 öö Gönderen: scarface »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 249
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: Geometri açı hesaplama sorusu
« Yanıtla #1 : Eylül 13, 2019, 08:12:07 ös »
Şekile ek çizim yapmadığım için çizilmiş halini vermeye gerek duymadım.

$\mid BM \mid = \mid AM \mid =a$ olsun, $\mid MC \mid = b$ olsun .

$BMC$  üçgeninde sinüs teoreminden $$\dfrac{b}{sin(73-a)^{\circ}}=\dfrac{a}{sin17^{\circ}}$$

$AMC$  üçgeninde sinüs teoreminden $$\dfrac{a}{sin(a+17)^{\circ}}=\dfrac{b}{sin73^{\circ}}$$

$\dfrac{a}{b}$  değerlerini eşitleyip içler dışlar çarpımı yaparsak

$$sin(a+17).sin(73-a)=sin17^{\circ}.sin73^{\circ}$$

Yarım açı formüllerine benzeterek $$ sin(2a+34)^{\circ}=sin34^{\circ}$$  olur.

$2a^{\circ}+34^{\circ}=34^{\circ}$ veya $2a^{\circ}+34^{\circ}=146^{\circ}$ olması gereklidir. (Üçgenin iç açısı $180^{\circ}$ den küçük olmasından dolayı $360k^{\circ}$  ifadesini eklemedik.)

Eğer $M$ ile $H$ çakışık değil ise $m(\widehat{MCH})=56^{\circ}$  olarak bulunur.

Eğer $M$ ile $H$ çakışık ise böyle bir açı yoktur ve bu durum ancak $73^{\circ}-34^{\circ}-73^{\circ}$ üçgeninde geçerlidir. (İkizkenar üçgenin yüksekliği kenarortayı ile özdeştir.) Ancak $\mid AC \mid > \mid BC \mid $ olduğu için bu durum imkansızdır.
« Son Düzenleme: Eylül 13, 2019, 08:16:21 ös Gönderen: AtakanCİCEK »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

Çevrimdışı Eray

  • G.O Genel Moderator
  • G.O Efsane Üye
  • ********
  • İleti: 355
  • Karma: +8/-0
Ynt: Geometri açı hesaplama sorusu
« Yanıtla #2 : Eylül 29, 2019, 08:37:44 öö »

$ABC$ üçgenin çevrel çemberinin merkezini $O$ ile gösterelim. İyi bilindiği üzere $\angle BCH = \angle OCA$ dır, dolayısıyla $O$ noktası $CM$ doğrusu üzerindedir. Bunun yanında, çevrel çemberin merkezinin özelliği gereği $O$ noktası $[AB]$ doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir. Şu halde iki ihtimal söz konusudur:
  • $CM\perp AB$ ise $H$ ve $M$ noktalarının çakışık olması, dolayısıyla $ABC$ üçgeninin $AB$ tabanlı ikizkenar bir üçgen olması gerekir, ancak soruda verilen $|AC|>|BC|$ koşulu bu durumu imkansız kılmaktadır.
  • $CM\not\perp AB$ ise zikredilen iki şartı sağlayan tek noktanın $M$ noktası olduğu açıktır. Bu durumda $M$ ve $O$ noktaları çakışıktır, yani $\angle BCA=90^\circ\Longrightarrow \boxed{ \angle MCH=56^\circ }$ olur.
« Son Düzenleme: Nisan 27, 2020, 01:50:59 öö Gönderen: scarface »
Matematik bilimlerin sultanıdır
-Carl Friedrich Gauss

Çevrimdışı AtakanCİCEK

  • G.O Demirbaş Üye
  • ******
  • İleti: 249
  • Karma: +4/-0
  • Manisa
Ynt: Geometri açı hesaplama sorusu {çözüldü}
« Yanıtla #3 : Nisan 25, 2020, 02:28:17 ös »
Aslında soruda verilen eşitlik bize $CH$ ın bir simedyan olduğunu söyler çünkü kenarortayın izogonal eşleniği simedyandır.

$\mid BH \mid=x$ , $\mid HA \mid =y$ ve $\mid HC \mid =z$ olsun. Pisagor teoremlerinden

$\mid BC \mid ^2=x^2+y^2$ , $\mid AC \mid^2 =y^2+z^2$ bulunur. Simedyan teoreminden

$\dfrac{\mid BC \mid^2 }{\mid AC \mid^2}=\dfrac{\mid BH \mid}{\mid HA \mid}=\dfrac{x}{z}=\dfrac{x^2+y^2}{y^2+z^2}$ olduğunu biliyoruz.  İçler dışlar çarpımı yapalım.

$xy^2+xz^2=x^2z+y^2z$

$y^2.(x-z)=xz.(x-z)$ elde edilir. $x=z$ olmaması istendiğinden dolayı $y^2=xz$ bulunur.  Buradan $\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{z}=\tan17$ bulunur. Bu da bize $ |CM| = |AM| $ olduğunu verir.  İstenen açı da buradan

$m(\widehat{MCH})=56^{\circ}$ bulunur.
« Son Düzenleme: Nisan 27, 2020, 01:53:21 öö Gönderen: scarface »
Bir matematikçi sanmaz fakat bilir, inandırmaya çalışmaz çünkü ispat eder.
    Manisa Özel Türk Koleji Fen Lisesi

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 1763
  • Karma: +8/-0
Ynt: Geometri açı hesaplama sorusu {çözüldü}
« Yanıtla #4 : Nisan 26, 2020, 10:27:53 öö »
2004 2. Aşama/Soru 1

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal